Examkin

Soru

Zorluk: ZorTek ve Çift Sayılar
a,ba, b ve cc birer tam sayı olmak üzere,
(a2+a+1)⋅b+5c2+c+1=2 \frac{(a^2 + a + 1) \cdot b + 5}{c^2 + c + 1} = 2
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?
  1. b² + 2b + 3Cevap
  2. B
    a · b + c
  3. C
    a + b + c
  4. D
    b · (a + 1)
  5. E
    3b + 2c

Cevap

b² + 2b + 3 ifadesi daima çift sayıdır.
Verilen denklemde a2+aa^2+a ve c2+cc^2+c ifadeleri ardışık sayıların çarpımı (n(n+1)n(n+1)) formunda olduğu için daima çifttir. Buna 1 eklendiğinde (a2+a+1)(a^2+a+1) ve (c2+c+1)(c^2+c+1) terimleri daima TEK sayı olur. Denklem T⋅b+TT=C\c\frac{T \cdot b + T}{T} = Ç formuna dönüşür. İçler dışlar çarpımıyla T⋅b+T=C\cT \cdot b + T = Ç bulunur, buradan T⋅b=TT \cdot b = T sonucu çıkar, yani bb kesinlikle TEK sayıdır. Seçeneklerde bb'nin tek olması durumunda b2+2b+3b^2+2b+3 ifadesi T+C\c+T=C\cT + Ç + T = Ç sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
a² + a ve c² + c ifadelerinin paritesini incele.
Ardışık iki tam sayının çarpımı (n·(n+1)) daima çifttir. Dolayısıyla a² + a ve c² + c ifadeleri daima ÇİFT (Ç) sayıdır.
Tam sayılar kümesinde n ve n+1'den biri mutlaka çifttir.
2
Parantez içlerinin paritesini belirle.
(a² + a) + 1 = Ç + T = TEK (T). Benzer şekilde c² + c + 1 = Ç + T = TEK (T).
Çift bir sayı ile tek sayının toplamı tektir.
3
Denklemi sadeleştirilmiş paritelerle yaz ve b'yi çöz.
(T · b + 5) / T = 2 (Ç) → T · b + 5 = T · Ç = Ç.
İçler dışlar çarpımı yaparak eşitliği düzenleriz.
4
b'nin paritesini bul.
T · b + 5 = Ç → T · b = Ç - 5 (T) → T · b = T. Bu durumda b mutlaka TEK sayı olmalıdır.
Tek sayı ile neyi çarparsak tek olur? Sadece tek sayıyı.
5
Doğru şıkkı (b² + 2b + 3) test et.
b tek ise: b² (T) + 2b (Ç) + 3 (T) = T + Ç + T = ÇİFT.
Tek + Çift + Tek toplamı çift sayı verir.

Anahtar Kavram

Ardışık Sayıların Çarpımı ve Parite Analizi

İpuçları

1
a ve a+1 ardışık sayılardır. Ardışık iki tam sayının çarpımı (a² + a) hakkında ne söylenebilir?

Daha Fazla Pratik

İçinde a³ - a gibi ifadeler barındıran benzer parite sorularını inceleyiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru