Examkin

Soru

Zorluk: OrtaRutin Olmayan Problemler

Başlangıç noktası orijin (0,0)(0,0) olan bir dik koordinat düzleminde, doğal sayılar 11'den başlanarak saat yönünün tersine (counter-clockwise) spiral bir yörünge izlenerek yerleştiriliyor.

İlk birkaç adım şu şekildedir:
- 11 sayısı (0,0)(0,0) noktasındadır.
- 22 sayısı (1,0)(1,0),
- 33 sayısı (1,1)(1,1),
- 44 sayısı (0,1)(0,1),
- 55 sayısı (−1,1)(-1,1),
- 99 sayısı (1,−1)(1,-1) noktasındadır.

Bu kurala göre, **5555** sayısı hangi koordinat noktasında bulunur?

  1. (4,2)(4, 2)Cevap
  2. B
    (4,1)(4, 1)
  3. C
    (2,4)(2, 4)
  4. D
    (3,2)(3, 2)
  5. E
    (−4,2)(-4, 2)

Cevap

55 sayısı (4,2)(4, 2) noktasında bulunur.
Spiraldeki sayıların yerleşiminde, tek sayıların kareleri (1,9,25,49,…1, 9, 25, 49, \dots) her zaman sağ alt köşede, yani (k,−k)(k, -k) formatındaki noktalarda bulunur. 5555 sayısına en yakın alt tam kare 4949 (727^2)'dur ve bu sayı (3,−3)(3, -3) noktasındadır. Spiral kuralına göre, bir karenin bitiminden sonra yörünge 1 birim sağa kayar ve yeni bir halkanın sağ kenarını oluşturmak üzere yukarı döner. 5050 sayısı (4,−3)(4, -3) noktasındadır. 5555 sayısına ulaşmak için 5050'den itibaren 55 birim yukarı çıkılmalıdır. Bu durumda apsis (x) 44 olarak kalır, ordinat (y) ise −3+5=2-3 + 5 = 2 olur. Nokta (4,2)(4, 2)'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Spiralin köşe noktalarındaki örüntüyü belirle.
Tek sayıların kareleri (12,32,52,…1^2, 3^2, 5^2, \dots) spiralin sağ alt köşelerinde oluşur. Genel kural: (2k+1)2(2k+1)^2 sayısı (k,−k)(k, -k) noktasındadır.
Referans noktası bularak hedef sayıya daha kolay ulaşmak için.
2
55 sayısına en yakın tek tam kareyi bul ve konumunu belirle.
72=497^2 = 49. Bu sayı k=3k=3 için (3,−3)(3, -3) noktasındadır.
49 sayısından başlayarak 55'e kadar adım adım ilerlemek için.
3
49'dan sonraki hareket yönünü ve 55'in konumunu hesapla.
49'dan sonraki sayı (50) bir sağa geçer: (4,−3)(4, -3). Sonraki sayılar yukarı doğru ilerler. 55−50=555 - 50 = 5 adım yukarı gidilmelidir. Y koordinatı: −3+5=2-3 + 5 = 2. X koordinatı değişmez: 44. Sonuç: (4,2)(4, 2).
Spiralin 4. halkasının sağ kenarında yukarı doğru hareket edildiği için.

Anahtar Kavram

Örüntü Analizi ve Koordinat Sistemi

İpuçları

1
Öncelikle 1,9,25,491, 9, 25, 49 gibi tek sayıların karelerinin koordinat düzleminde nereye denk geldiğini inceleyiniz.
2
72=497^2 = 49 sayısı (3,−3)(3, -3) noktasındadır. 50 sayısı bu noktadan nereye hareket eder?
3
50 sayısı (4,−3)(4, -3) noktasındadır ve buradan itibaren spiral yukarı doğru çıkar. 55'e ulaşmak için kaç birim yukarı gitmeniz gerektiğini hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla çift sayıların karelerinin (4,16,36...4, 16, 36...) hangi köşelerde toplandığını analiz ediniz.

Alternatif Yöntem

55 sayısının bulunduğu halkanın sağ üst köşesini bularak geriye doğru sayabilirsiniz. 82=648^2 = 64 sayısı sol üst köşeye yakındır ancak bu yöntem daha karmaşık olabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Rutin Olmayan Problemler

Bu konudan daha fazla soru