Examkin

Soru

Zorluk: ZorAlt Küme

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z:∣x−2∣≤3}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \le 3\}
B={x∈A:x2<5}B = \{x \in A : x^2 < 5\}

Buna göre, AA kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi BB kümesini kapsar?

  1. A
    4
  2. 8Cevap
  3. C
    16
  4. D
    32
  5. E
    64

Cevap

B kümesini kapsayan alt küme sayısı 8'dir.
B kümesini kapsayan bir alt küme oluşturmak için, B'nin tüm elemanları bu alt kümede mutlaka bulunmalıdır. Bu elemanlar 'sabit' kabul edilir. A kümesinin B'de bulunmayan diğer elemanları ise alt kümeye dahil edilebilir veya edilmeyebilir (seçimliktir). A={−1,0,1,2,3,4,5}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} ve B={−1,0,1,2}B = \{-1, 0, 1, 2\} olduğundan, seçimlik (serbest) elemanlar {3,4,5}\{3, 4, 5\} kümesidir. 3 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 23=82^3 = 8 olduğundan, toplam 8 farklı alt küme B'yi kapsar.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle bulmak için mutlak değer eşitsizliğini çöz.
∣x−2∣≤3⇒−3≤x−2≤3⇒−1≤x≤5|x - 2| \le 3 \Rightarrow -3 \le x - 2 \le 3 \Rightarrow -1 \le x \le 5. A={−1,0,1,2,3,4,5}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}, yani s(A)=7s(A) = 7.
Kümeyi somut elemanlarla ifade etmek işlem yapmayı kolaylaştırır.
2
B kümesinin elemanlarını belirlemek için A kümesindeki elemanlardan karesi 5'ten küçük olanları seç.
x2<5x^2 < 5 koşulunu sağlayan x∈Ax \in A değerleri: (−1)2=1(-1)^2=1, 02=00^2=0, 12=11^2=1, 22=42^2=4. B={−1,0,1,2}B = \{-1, 0, 1, 2\}, yani s(B)=4s(B) = 4.
Negatif sayıların karesinin pozitif olduğuna dikkat edilmelidir (−1-1 elemanı B'ye dahildir).
3
A'nın alt kümelerinden B'yi kapsayanların sayısını hesaplamak için formülü uygula.
B'yi kapsayan alt kümeler, B'nin tüm elemanlarını (44 tane) içermek zorundadır. Geriye kalan 7−4=37 - 4 = 3 elemandan (3,4,53, 4, 5) oluşturulabilecek tüm kombinasyonlar hesaplanır: 23=82^3 = 8.
Bir alt kümenin B'yi kapsaması için B⊆K⊆AB \subseteq K \subseteq A olmalıdır. B'nin elemanları sabittir, A∖BA \setminus B kümesinden serbestçe seçim yapılır.

Anahtar Kavram

Alt Küme Oluşturma Koşulları

İpuçları

1
Önce mutlak değer eşitsizliğini çözerek A kümesinin elemanlarını liste halinde yazınız.
2
A kümesindeki elemanlardan hangilerinin karesinin 5'ten küçük olduğunu belirleyerek B kümesini oluşturunuz. Negatif sayıların karesine dikkat ediniz.
3
Bir alt kümenin B'yi kapsaması için B'nin tüm elemanlarını içermesi gerekir. A kümesinde olup B'de olmayan kaç eleman kaldığını bulun ve bu sayıyla 2n2^n formülünü kullanın.

Alternatif Yöntem

Formül Kullanımı: AA kümesinin eleman sayısı nn, BB kümesinin eleman sayısı mm ve B⊆AB \subseteq A olsun. AA'nın alt kümelerinden BB'yi kapsayanların sayısı 2n−m2^{n-m} formülü ile bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Alt Küme

Bu konudan daha fazla soru