A = \{x, y\} ve B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, x, y\} kümeleri veriliyor. A \subseteq K \subseteq… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

$A = \{x, y\}$ ve $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, x, y\}$ kümeleri veriliyor.

$A \subseteq K \subseteq B$ koşulunu sağlayan $K$ kümeleri tanımlanıyor.

Buna göre, $K \setminus A$ kümesinin elemanlarının çarpımı 4 ile tam bölünen kaç farklı $K$ kümesi vardır?

A
24
B
32
C
36
40Cevap
E
56

Cevap

Toplam 64 olası durumdan, çarpımı 4 ile bölünmeyen 24 durumu (hiç çift olmayanlar, sadece 2 içerenler, sadece 6 içerenler) çıkardığımızda geriye 40 durum kalır.

Adım Adım Çözüm

K kümesinin değişken kısmını belirle.

K

kümesi

A

'yı kapsamak zorundadır.

K

'yı oluşturmak için

A

'nın üzerine

B \setminus A

kümesinden elemanlar seçilmelidir. Seçim yapılacak küme

D = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

'dır.

Alt küme tanımı gereği

A \subseteq K

ise

A

'nın elemanları sabittir.

Tüm olası

K

kümelerinin sayısını hesapla.

D

kümesinin eleman sayısı

s(D)=6

olduğundan, toplam alt küme sayısı

2^6 = 64

'tür.

n

elemanlı bir kümenin

2^n

tane alt kümesi vardır.

İstenmeyen durumları (çarpımı 4 ile bölünmeyenler) analiz et.

Çarpımın 4'e bölünmemesi için çarpım içinde 4 çarpanının oluşmaması gerekir.

D

kümesindeki çift sayılar

\{2, 4, 6\}

'dır.
- 4 seçilirse çarpım 4'e bölünür (İstenen durum).
- 2 ve 6 birlikte seçilirse (

2 \times 6 = 12

) çarpım 4'e bölünür (İstenen durum).

İstenmeyen (sağlamayan) durumlar:
1. Hiç çift sayı seçilmemesi (Sadece

\{1, 3, 5\}

'ten seçim).
2. Sadece 2'nin seçilmesi (Yanında sadece tek sayılar).
3. Sadece 6'nın seçilmesi (Yanında sadece tek sayılar).

Bir sayının 4 ile bölünmesi için içinde en az iki tane 2 çarpanı veya doğrudan 4 çarpanı bulunmalıdır.

İstenmeyen durumların sayısını hesapla.

Tek sayılar kümesi

T = \{1, 3, 5\}

olsun (

s(T)=3

).
1. Durum (Hiç çift yok):

2^3 = 8

alt küme.
2. Durum (Sadece 2 var):

2^3 = 8

alt küme (Tek sayıların her alt kümesine 2 eklenir).
3. Durum (Sadece 6 var):

2^3 = 8

alt küme (Tek sayıların her alt kümesine 6 eklenir).
Toplam İstenmeyen =

8 + 8 + 8 = 24

Tümleyen (complement) yöntemi ile çözüm daha pratiktir.

Tüm durumlardan istenmeyenleri çıkar.

64 - 24 = 40

Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar = İstenen Durumlar.

Anahtar Kavram

Tümleyen Yöntemi ile Alt Küme Sayısı Bulma

İpuçları

Doğrudan istenen durumları saymak zordur. Bunun yerine, tüm durumlardan şartı SAĞLAMAYAN durumları çıkarmayı deneyin.

Bir çarpımın 4 ile bölünmemesi için, çarpanlar içinde 4 bulunmamalı ve çift sayılardan (2 ve 6) en fazla bir tanesi bulunmalıdır.

İstenmeyen durumlar: 1) Sadece tek sayılar, 2) Tek sayılar ve sadece 2, 3) Tek sayılar ve sadece 6. Bu üç durumu toplayıp

2^6

'dan çıkarın.

Alternatif Yöntem

İstenen durumları doğrudan sayma: İçinde 4 olanlar (

2^5=32

) + İçinde 4 olmayıp 2 ve 6 olanlar (Tek sayılardan seçim

2^3=8

). Toplam

32+8=40

Tahmini Süre:3m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru