Examkin

Alt Küme

29 soru

Soru 1Soru →

A={x,y}A = \{x, y\} ve B={1,2,3,4,5,6,x,y}B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, x, y\} kümeleri veriliyor.

A⊆K⊆BA \subseteq K \subseteq B koşulunu sağlayan KK kümeleri tanımlanıyor.

Buna göre, K∖AK \setminus A kümesinin elemanlarının çarpımı 4 ile tam bölünen kaç farklı KK kümesi vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

40
Toplam 64 olası durumdan, çarpımı 4 ile bölünmeyen 24 durumu (hiç çift olmayanlar, sadece 2 içerenler, sadece 6 içerenler) çıkardığımızda geriye 40 durum kalır.

Adım Adım Çözüm

1
K kümesinin değişken kısmını belirle.
KK kümesi AA'yı kapsamak zorundadır. KK'yı oluşturmak için AA'nın üzerine B∖AB \setminus A kümesinden elemanlar seçilmelidir. Seçim yapılacak küme D={1,2,3,4,5,6}D = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}'dır.
Alt küme tanımı gereği A⊆KA \subseteq K ise AA'nın elemanları sabittir.
2
Tüm olası KK kümelerinin sayısını hesapla.
DD kümesinin eleman sayısı s(D)=6s(D)=6 olduğundan, toplam alt küme sayısı 26=642^6 = 64'tür.
nn elemanlı bir kümenin 2n2^n tane alt kümesi vardır.
3
İstenmeyen durumları (çarpımı 4 ile bölünmeyenler) analiz et.
Çarpımın 4'e bölünmemesi için çarpım içinde 4 çarpanının oluşmaması gerekir. DD kümesindeki çift sayılar {2,4,6}\{2, 4, 6\}'dır.
- 4 seçilirse çarpım 4'e bölünür (İstenen durum).
- 2 ve 6 birlikte seçilirse (2×6=122 \times 6 = 12) çarpım 4'e bölünür (İstenen durum).

İstenmeyen (sağlamayan) durumlar:
1. Hiç çift sayı seçilmemesi (Sadece {1,3,5}\{1, 3, 5\}'ten seçim).
2. Sadece 2'nin seçilmesi (Yanında sadece tek sayılar).
3. Sadece 6'nın seçilmesi (Yanında sadece tek sayılar).
Bir sayının 4 ile bölünmesi için içinde en az iki tane 2 çarpanı veya doğrudan 4 çarpanı bulunmalıdır.
4
İstenmeyen durumların sayısını hesapla.
Tek sayılar kümesi T={1,3,5}T = \{1, 3, 5\} olsun (s(T)=3s(T)=3).
1. Durum (Hiç çift yok): 23=82^3 = 8 alt küme.
2. Durum (Sadece 2 var): 23=82^3 = 8 alt küme (Tek sayıların her alt kümesine 2 eklenir).
3. Durum (Sadece 6 var): 23=82^3 = 8 alt küme (Tek sayıların her alt kümesine 6 eklenir).
Toplam İstenmeyen = 8+8+8=248 + 8 + 8 = 24.
Tümleyen (complement) yöntemi ile çözüm daha pratiktir.
5
Tüm durumlardan istenmeyenleri çıkar.
64−24=4064 - 24 = 40.
Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar = İstenen Durumlar.

Anahtar Kavram

Tümleyen Yöntemi ile Alt Küme Sayısı Bulma

İpuçları

1
Doğrudan istenen durumları saymak zordur. Bunun yerine, tüm durumlardan şartı SAĞLAMAYAN durumları çıkarmayı deneyin.
2
Bir çarpımın 4 ile bölünmemesi için, çarpanlar içinde 4 bulunmamalı ve çift sayılardan (2 ve 6) en fazla bir tanesi bulunmalıdır.
3
İstenmeyen durumlar: 1) Sadece tek sayılar, 2) Tek sayılar ve sadece 2, 3) Tek sayılar ve sadece 6. Bu üç durumu toplayıp 262^6'dan çıkarın.

Alternatif Yöntem

İstenen durumları doğrudan sayma: İçinde 4 olanlar (25=322^5=32) + İçinde 4 olmayıp 2 ve 6 olanlar (Tek sayılardan seçim 23=82^3=8). Toplam 32+8=4032+8=40.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2Soru →

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z:∣x−2∣≤3}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \le 3\}
B={x∈A:x2<5}B = \{x \in A : x^2 < 5\}

Buna göre, AA kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi BB kümesini kapsar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

B kümesini kapsayan alt küme sayısı 8'dir.
B kümesini kapsayan bir alt küme oluşturmak için, B'nin tüm elemanları bu alt kümede mutlaka bulunmalıdır. Bu elemanlar 'sabit' kabul edilir. A kümesinin B'de bulunmayan diğer elemanları ise alt kümeye dahil edilebilir veya edilmeyebilir (seçimliktir). A={−1,0,1,2,3,4,5}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} ve B={−1,0,1,2}B = \{-1, 0, 1, 2\} olduğundan, seçimlik (serbest) elemanlar {3,4,5}\{3, 4, 5\} kümesidir. 3 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 23=82^3 = 8 olduğundan, toplam 8 farklı alt küme B'yi kapsar.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle bulmak için mutlak değer eşitsizliğini çöz.
∣x−2∣≤3⇒−3≤x−2≤3⇒−1≤x≤5|x - 2| \le 3 \Rightarrow -3 \le x - 2 \le 3 \Rightarrow -1 \le x \le 5. A={−1,0,1,2,3,4,5}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}, yani s(A)=7s(A) = 7.
Kümeyi somut elemanlarla ifade etmek işlem yapmayı kolaylaştırır.
2
B kümesinin elemanlarını belirlemek için A kümesindeki elemanlardan karesi 5'ten küçük olanları seç.
x2<5x^2 < 5 koşulunu sağlayan x∈Ax \in A değerleri: (−1)2=1(-1)^2=1, 02=00^2=0, 12=11^2=1, 22=42^2=4. B={−1,0,1,2}B = \{-1, 0, 1, 2\}, yani s(B)=4s(B) = 4.
Negatif sayıların karesinin pozitif olduğuna dikkat edilmelidir (−1-1 elemanı B'ye dahildir).
3
A'nın alt kümelerinden B'yi kapsayanların sayısını hesaplamak için formülü uygula.
B'yi kapsayan alt kümeler, B'nin tüm elemanlarını (44 tane) içermek zorundadır. Geriye kalan 7−4=37 - 4 = 3 elemandan (3,4,53, 4, 5) oluşturulabilecek tüm kombinasyonlar hesaplanır: 23=82^3 = 8.
Bir alt kümenin B'yi kapsaması için B⊆K⊆AB \subseteq K \subseteq A olmalıdır. B'nin elemanları sabittir, A∖BA \setminus B kümesinden serbestçe seçim yapılır.

Anahtar Kavram

Alt Küme Oluşturma Koşulları

İpuçları

1
Önce mutlak değer eşitsizliğini çözerek A kümesinin elemanlarını liste halinde yazınız.
2
A kümesindeki elemanlardan hangilerinin karesinin 5'ten küçük olduğunu belirleyerek B kümesini oluşturunuz. Negatif sayıların karesine dikkat ediniz.
3
Bir alt kümenin B'yi kapsaması için B'nin tüm elemanlarını içermesi gerekir. A kümesinde olup B'de olmayan kaç eleman kaldığını bulun ve bu sayıyla 2n2^n formülünü kullanın.

Alternatif Yöntem

Formül Kullanımı: AA kümesinin eleman sayısı nn, BB kümesinin eleman sayısı mm ve B⊆AB \subseteq A olsun. AA'nın alt kümelerinden BB'yi kapsayanların sayısı 2n−m2^{n-m} formülü ile bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 3Soru →

A={x∣1≤x<5, x∈Z}A = \{x \mid 1 \leq x < 5, \text{ } x \in \mathbb{Z}\} ve B={x∣x, c¸ift olan asal sayı}B = \{x \mid x, \text{ çift olan asal sayı}\} kümeleri veriliyor. Buna göre, AA kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi BB kümesinin tüm elemanlarını içerir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

A kümesinin alt kümelerinden 8 tanesi B kümesinin tüm elemanlarını içerir.
A kümesi {1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\} elemanlarından oluşur ve eleman sayısı 4'tür. B kümesi ise çift asal sayı tanımı gereği sadece {2}\{2\} elemanını içerir. İstenen alt kümelerin içerisinde 2 elemanının mutlaka bulunması gerekir. Bu durumda, 2 elemanını kenara ayırdığımızda geriye kalan 3 eleman (1, 3 ve 4) ile 23=82^3 = 8 farklı alt küme oluşturulabilir. Bu 8 alt kümenin her birine 2 elemanını eklediğimizde, B'yi kapsayan 8 farklı alt küme elde ederiz.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını listeleyelim.
A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\}
Sınır değerlerini ve tam sayı şartını kullanarak küme elemanlarını belirleriz.
2
B kümesinin elemanlarını belirleyelim.
B={2}B = \{2\}
Çift olan tek asal sayı 2 olduğu için B kümesi sadece bu elemanı içerir.
3
Koşulu sağlayan alt küme sayısını hesaplayalım.
2(4−1)=23=82^{(4-1)} = 2^3 = 8
Bir alt kümenin B'yi içermesi için '2' elemanının o kümede bulunması zorunludur. Geriye kalan {1,3,4}\{1, 3, 4\} elemanları ile oluşturulabilecek tüm alt kümeler bu koşulu sağlar.

Anahtar Kavram

Bir kümenin belirli elemanları içeren alt küme sayısı, o elemanlar kümeden çıkarıldıktan sonra kalan elemanlarla oluşturulan alt küme sayısına eşittir.

İpuçları

1
Önce A kümesinin elemanlarını ve B kümesinin (çift asal sayılar) elemanlarını liste halinde yazın.
2
Bir alt kümede bulunması 'zorunlu' olan elemanları belirleyin. Bu soruda '2' elemanı mutlaka bulunmalıdır.
3
Zorunlu elemanı kümeden çıkardıktan sonra kalan eleman sayısını nn kabul ederek 2n2^n formülünü uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, belirli elemanları 'içermeyen' alt kümeleri bulurken de aynı yöntemi kullanabileceğinizi unutmayın.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 4Soru →

A={1,2,3,…,9}A = \{1, 2, 3, \dots, 9\} kümesi veriliyor.

AA kümesinin boş olmayan her KK alt kümesi için, KK kümesinin en küçük elemanı m(K)m(K), en büyük elemanı M(K)M(K) ile gösteriliyor. Tek elemanlı kümeler için m(K)=M(K)m(K) = M(K) olduğu kabul edilmektedir.

Buna göre, m(K)+M(K)=10m(K) + M(K) = 10 eşitliğini sağlayan kaç farklı KK alt kümesi vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 171

Cevap

Şartı sağlayan 171 farklı alt küme vardır
İstenen şart m(K)+M(K)=10m(K) + M(K) = 10 olmasıdır. Bu şartı sağlayan olası (min, max) çiftleri: (1,9),(2,8),(3,7),(4,6)(1,9), (2,8), (3,7), (4,6) ve tek elemanlı küme durumunda (5)(5)'tir. Her durum için, seçilen min ve max değerleri sabit tutulup, bu iki değerin sayı doğrusunda 'arasında' kalan elemanların oluşturabileceği tüm alt kümeler hesaplanır. Aradaki eleman sayısı nn ise, bu durum için 2n2^n alt küme vardır. (1,9)(1,9) için 27=1282^7=128, (2,8)(2,8) için 25=322^5=32, (3,7)(3,7) için 23=82^3=8, (4,6)(4,6) için 21=22^1=2 ve {5}\{5\} için 1 durum oluşur. Toplam: 128+32+8+2+1=171128+32+8+2+1=171.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulu sağlayan uç değer (min, max) çiftlerini belirle
Çiftler: (1,9), (2,8), (3,7), (4,6) ve tek eleman (5,5)
Toplamı 10 olan en küçük ve en büyük eleman adaylarını tespit etmek gerekir.
2
(1,9) durumu için alt küme sayısını hesapla
Ara elemanlar {2,3,4,5,6,7,8} (7 eleman). Alt küme sayısı = 27=1282^7 = 128
1 ve 9 kesinlikle kümede olmalı, aradaki elemanlar seçilebilir veya seçilmeyebilir.
3
(2,8) durumu için alt küme sayısını hesapla
Ara elemanlar {3,4,5,6,7} (5 eleman). Alt küme sayısı = 25=322^5 = 32
2 ve 8 kesinlikle kümede, 1 ve 9 kesinlikle yok. Aradakiler serbest.
4
(3,7) durumu için alt küme sayısını hesapla
Ara elemanlar {4,5,6} (3 eleman). Alt küme sayısı = 23=82^3 = 8
Benzer mantıkla sadece 4, 5, 6 arasından seçim yapılabilir.
5
(4,6) ve (5) durumlarını hesapla
(4,6) için 21=22^1=2, {5} için 1 durum.
(4,6) arasında sadece 5 var. {5} tek başına m(K)=5, M(K)=5 toplam 10 sağlar.
6
Tüm durumları topla
128 + 32 + 8 + 2 + 1 = 171
Ayrık durumların toplamı toplam küme sayısını verir.

Anahtar Kavram

Alt küme oluşturma ve sınır değer analizi

İpuçları

1
En küçük ve en büyük elemanların toplamı 10 olan sayı ikililerini (veya tek sayıları) listeleyerek başlayın.
2
Örneğin en küçük eleman 1, en büyük eleman 9 ise; 1 ve 9 mutlaka kümede olmalı, 1 ile 9 arasındaki sayılar (2,3...8) ise isteğe bağlı seçilebilir.

Daha Fazla Pratik

Toplamı 10 yerine tek sayı olan (örn. 9) benzer bir soru çözerek tek elemanlı küme durumunun nasıl elendiğini inceleyin.

Alternatif Yöntem

Simetri özelliğinden faydalanılabilir: Toplamı 10 olan çiftlerin simetrisi üzerinden gidilerek örüntü (güç serisi) fark edilebilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 5Soru →

A={a,{a},{a,b}}A = \{ a, \{a\}, \{a, b\} \} kümesi veriliyor.

Buna göre, AA kümesi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {a,b}⊆A\{ a, b \} \subseteq A

Cevap

{a,b}⊆A\{ a, b \} \subseteq A ifadesi yanlıştır.
Soruda verilen {a,b}⊆A\{ a, b \} \subseteq A ifadesinin doğru olabilmesi için, küme parantezi içindeki her bir elemanın (aa ve bb) tek tek AA kümesinin elemanı olması gerekir. AA kümesinin elemanları aa, {a}\{a\} ve {a,b}\{a, b\}'dir. aa elemanı kümede vardır ancak bb elemanı kümede tek başına yoktur. Bu nedenle {a,b}\{ a, b \} bir alt küme oluşturmaz.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını listele.
A kümesinin elemanları: 1) aa, 2) {a}\{a\}, 3) {a,b}\{a, b\}. Toplam 3 eleman vardır.
Kümeyi analiz etmek için elemanları tek tek belirlemek gerekir.
2
Seçeneklerdeki 'elemanıdır' (∈\in) ve 'alt kümesidir' (⊆\subseteq) sembollerini kontrol et.
Alt küme tanımı gereği, bir kümenin alt küme olabilmesi için o kümenin tüm elemanlarının ana kümede (A) eleman olarak bulunması gerekir.
Sembollerin anlamlarını doğru uygulamak sorunun çözümü için kritiktir.
3
Yanlış olduğu iddia edilen {a,b}⊆A\{ a, b \} \subseteq A ifadesini incele.
Bu ifadenin doğru olması için a∈Aa \in A VE b∈Ab \in A olması gerekir. a∈Aa \in A doğrudur ancak b∈Ab \in A yanlıştır (A kümesinde yalın halde bb elemanı yoktur, sadece {a,b}\{a, b\} şeklinde bir paket eleman vardır).
Alt küme kuralının sağlanmadığını göstermek.
4
Diğer seçeneklerin doğruluğunu teyit et.
s(A)=3s(A)=3 (Doğru). {a}∈A\{a\} \in A (Doğru, 2. eleman). {a}⊆A\{a\} \subseteq A (Doğru, çünkü a∈Aa \in A). {{a,b}}⊆A\{ \{a, b\} \} \subseteq A (Doğru, çünkü {a,b}∈A\{a, b\} \in A).
Sağlama yaparak doğru cevaptan emin olmak.

Anahtar Kavram

Bir kümenin alt kümesi olabilmesi için, alt kümenin içindeki her elemanın ana kümede 'eleman' olarak bulunması gerekir. {x}∈A\{x\} \in A ile x∈Ax \in A birbirinden farklı durumlardır.

İpuçları

1
Bir ifadenin alt küme (⊆\subseteq) olup olmadığını kontrol etmek için, o ifadenin küme parantezlerini kaldırın ve içindeki elemanların ana kümede olup olmadığına bakın.
2
AA kümesinin elemanları: 1. aa, 2. {a}\{a\}, 3. {a,b}\{a, b\}. Seçenekleri bu listeye göre kontrol edin.
3
Eğer bb elemanı AA kümesinde tek başına yoksa, içinde bb bulunan bir küme AA'nın alt kümesi olamaz.

Daha Fazla Pratik

Eleman sayısı ve alt küme sayısı arasındaki ilişkiyi inceleyen sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 6Soru →

A={x∣∣x−2∣≤3, x∈Z}A = \{x \mid |x - 2| \leq 3, \ x \in \mathbb{Z}\} kümesi veriliyor. Buna göre, AA kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde 00 eleman olarak bulunur, ancak 44 eleman olarak bulunmaz?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Kümenin 7 elemanından 2 tanesi sabitlendiği için kalan 5 elemanla oluşturulan 32 alt küme doğru cevaptır.
Verilen eşitsizlik çözüldüğünde kümenin 7 tam sayı elemanından oluştuğu görülür. Alt kümelerde bir elemanın bulunması veya bulunmaması istenmesi, o elemanın seçim hakkının olmaması (durumunun sabitlenmesi) anlamına gelir. Bu nedenle serbest olan 5 eleman için 2^5 = 32 farklı durum oluşur.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli eşitsizliği çözerek A kümesinin elemanlarını belirlemek.
∣x−2∣≤3⇒−3≤x−2≤3|x - 2| \leq 3 \Rightarrow -3 \leq x - 2 \leq 3 ve buradan −1≤x≤5-1 \leq x \leq 5 bulunur. A={−1,0,1,2,3,4,5}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}.
Alt küme hesaplaması yapabilmek için önce kümenin eleman sayısını ve elemanlarını bilmemiz gerekir.
2
Kısıtlamalara göre seçime dahil edilecek eleman sayısını belirlemek.
00 elemanı mutlaka bulunacak, 44 elemanı ise mutlaka bulunmayacaktır. s(A)=7s(A) = 7 olup bu 2 eleman dışındaki eleman sayısı 7−2=57 - 2 = 5 olur.
Belirli elemanların bulunması veya bulunmaması istendiğinde, bu elemanlar kümeden ayrılarak kalan elemanlarla seçim yapılır.
3
Alt küme formülünü uygulamak.
25=322^5 = 32.
nn elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n2^n formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Bir kümenin belirli elemanlarını içeren veya içermeyen alt küme sayısı hesaplanırken, kısıtlamaya tabi olan elemanlar kümeden çıkarılır ve kalan elemanlarla 2^n formülü uygulanır.

İpuçları

1
Önce mutlak değerli eşitsizliği çözerek kümenin elemanlarını listeleyin.
2
0'ın bulunduğu ve 4'ün bulunmadığı alt kümeleri bulmak için bu iki elemanı kümeden ayırıp kalanlarla kaç alt küme yazılabileceğine bakın.
3
7 elemanlı bir kümede 2 eleman sabitlendiğine göre, geriye kalan 5 elemanla 252^5 hesaplaması yapmalısınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla 'en az bir negatif eleman içeren' alt küme sayısını hesaplamayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 7Soru →

Elemanları ardışık tam sayılardan oluşan bir AA kümesinin elemanları −4<n≤2-4 < n \leq 2 koşulunu sağlamaktadır. Buna göre, AA kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir pozitif tam sayı bulunur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Kümenin alt kümelerinin 48 tanesinde en az bir pozitif tam sayı bulunur.
En az bir pozitif tam sayı içeren alt kümeleri bulmak için 'tüm durumlar - istenmeyen durumlar' mantığı kullanılır. Küme s(A)=6s(A)=6 elemanlı olduğundan toplam 64 alt kümesi vardır. Kümedeki pozitif olmayan elemanlar {−3,−2,−1,0}\{-3, -2, -1, 0\} olup 4 tanedir. Bu 4 elemanla yazılabilecek 16 alt kümenin hiçbirinde pozitif sayı bulunmaz. Dolayısıyla 64 - 16 = 48 alt kümede en az bir pozitif sayı mevcuttur.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını listeleyin ve eleman sayısını bulun.
−4<n≤2-4 < n \leq 2 koşulunu sağlayan tam sayılar: {−3,−2,−1,0,1,2}\{-3, -2, -1, 0, 1, 2\}. Eleman sayısı s(A)=6s(A) = 6 olur.
Alt küme hesaplamaları için öncelikle kümenin kaç elemanlı olduğunu bilmemiz gerekir.
2
Kümedeki tüm alt kümelerin sayısını hesaplayın.
26=642^6 = 64.
nn elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n2^n formülü ile bulunur.
3
İstenmeyen durumu (hiç pozitif sayı bulunmama) belirleyin ve sayısını bulun.
Pozitif olmayan elemanlar: {−3,−2,−1,0}\{-3, -2, -1, 0\} (4 adet). Bu elemanlarla oluşturulabilecek alt küme sayısı: 24=162^4 = 16.
'En az bir' sorularında tüm durumlardan istenmeyen durumu çıkarmak en kısa yoldur. Burada istenmeyen durum, seçilen alt kümede hiçbir pozitif sayının bulunmamasıdır.
4
İstenen durumu bulun.
64−16=4864 - 16 = 48.
Tüm alt kümelerden, sadece negatif ve sıfır elemanlardan oluşan alt kümeler çıkarıldığında, geriye kalan her alt kümede en az bir tane pozitif sayı (1 veya 2) kalması garanti edilir.

Anahtar Kavram

Alt küme sayısının hesaplanması ve 'en az bir' koşulunun tümleyen (tüm durumlar - istenmeyen durumlar) yöntemiyle çözülmesi.

İpuçları

1
Önce AA kümesinin elemanlarını listeleyerek kaç elemanlı olduğunu bulun.
2
Bir kümede 'en az bir' şartı varsa, tüm alt kümelerden bu şartı bozan (şartın hiç sağlanmadığı) durumları çıkarmayı deneyin.
3
Pozitif tam sayılar 1 ve 2'dir. Diğer 4 elemanla ({−3,−2,−1,0}\{-3, -2, -1, 0\}) oluşturulan alt kümeler pozitif sayı içermez. Bu 16 kümeyi toplamdan çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla 'en az bir çift sayı içeren' veya 'en az bir asal sayı içeren' alt küme sorularını çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İstenen durumu parçalara ayırarak da çözebilirsiniz: Sadece 1 içerenler, sadece 2 içerenler ve hem 1 hem 2 içerenler. Bu da kombinasyon yoluyla C(6,1)+C(6,2)+...C(6,1) + C(6,2) + ... yerine daha karmaşık bir mantık gerektirir, bu yüzden tümleyen yöntemi daha pratiktir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 8Soru →

A={1,2,3,4,5,6,7,8}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} kümesi veriliyor.

Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde, elemanların çarpımı 4 ile tam bölünür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 208

Cevap

Elemanları çarpımı 4 ile tam bölünen alt küme sayısı 208'dir.
Doğru cevap 208'dir çünkü 8 elemanlı kümenin toplam 256 alt kümesinden, çarpımı 4'ün katı olmayan 48 durum çıkarılmıştır. Çarpımın 4'e bölünmemesi için 4 ve 8 hiç alınmamalı, 2 ve 6'dan ise en fazla biri alınmalıdır. Bu koşulu sağlayan 16×3=4816 \times 3 = 48 durum vardır.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm alt kümelerin sayısını hesapla.
28=2562^8 = 256 adet alt küme vardır.
8 elemanlı bir kümenin toplam alt küme sayısı 2n2^n formülü ile bulunur.
2
İstenen durumu doğrudan hesaplamak yerine, 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' yöntemini (Tümleyen) kullanmaya karar ver.
İstenmeyen Durum: Elemanların çarpımının 4 ile bölünmemesi.
Çarpımın 4'e bölünmesi için içinde 4, 8 veya (2 ve 6) çifti bulunmalıdır. Bu durumları tek tek saymak yerine tersten gitmek daha kolaydır.
3
Çarpımın 4 ile bölünmemesi için gereken koşulları belirle.
Küme içinde 4 veya 8 asla bulunmamalıdır. Ayrıca, küme içinde 2 ve 6 sayıları aynı anda bulunmamalıdır (çünkü 2×6=122 \times 6 = 12, 4'e bölünür).
Sayı 4'ün katı olmamalıdır. Bunun için 4 ve 8 yasaklıdır. Geriye kalan çift sayılardan (2, 6) en fazla bir tanesi seçilebilir.
4
İstenmeyen durum sayısını hesapla.
Tek sayılar {1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\} (4 eleman) serbestçe seçilebilir (24=162^4 = 16 durum). Çift sayılardan {2,6}\{2, 6\} kümesinden ise ya hiçbiri, ya sadece 2, ya da sadece 6 seçilebilir (3 durum). Toplam İstenmeyen = 16×3=4816 \times 3 = 48.
Tek sayıların her alt kümesi ile izin verilen çift sayı kombinasyonları eşleştirilir.
5
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkar.
256−48=208256 - 48 = 208.
Tüm alt kümelerden, çarpımı 4'e bölünmeyenler çıkarıldığında geriye çarpımı 4'e bölünenler kalır.

Anahtar Kavram

Tümleyen Yöntemi ile Alt Küme Hesabı

İpuçları

1
İstenen durumu (çarpımı 4'e bölünenleri) doğrudan saymak zordur çünkü çok fazla durum vardır. Bunun yerine tersini düşünün: Hangi durumlarda çarpım 4'e BÖLÜNMEZ?
2
Bir çarpımın 4 ile bölünmemesi için, çarpanlar arasında 4 ve 8 kesinlikle olmamalıdır. Ayrıca, içinde sadece bir tane 2 çarpanı bulunduran (örneğin sadece 2 veya sadece 6) sayılardan en fazla kaç tane olabilir?
3
İstenmeyen durumu hesaplarken: 4 ve 8'i kümeden atın. Geriye kalan {2,6}\{2, 6\} kümesinden en fazla 1 eleman seçebilirsiniz (Hiçbiri, sadece 2 veya sadece 6). Tek sayıları ise istediğiniz gibi seçebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, elemanları çarpımı 3'e bölünen alt kümeleri bulunuz.

Alternatif Yöntem

Doğrudan Sayma (Kapsama-Dışlama): İçinde 4 olanlar (272^7) + İçinde 8 olanlar (272^7) + İçinde {2,6} olanlar (262^6) - Kesişimler... şeklinde hesaplanabilir ancak bu yöntem çok daha uzundur.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 9Soru →

A={1,2,{1},{1,2},{1,2,3},∅}A = \{ 1, 2, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}, \emptyset \} kümesi veriliyor. Buna göre, AA kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde {1,2}\{1, 2\} eleman olarak bulunur fakat {1}\{1\} ve 22 elemanlarından en çok biri bulunur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Kümenin {1,2}\{1, 2\} elemanını içeren ve {1}\{1\} ile 22 elemanlarından en çok birini barındıran alt küme sayısı 24'tür.
Doğru cevap olan 24, AA kümesinin eleman sayısının 6 olduğu, {1,2}\{1, 2\} elemanı sabitlendikten sonra kalan 5 eleman (25=322^5=32) içinden, {1}\{1\} ve 22 elemanlarının birlikte bulunduğu 23=82^3=8 durumun çıkarılmasıyla (32−8=2432-8=24) bulunur. Bu yöntem 'en çok biri' koşulunu matematiksel olarak tam karşılar.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirle.
s(A)=6s(A) = 6. Elemanlar: 11, 22, {1}\{1\}, {1,2}\{1, 2\}, {1,2,3}\{1, 2, 3\} ve ∅\emptyset.
Alt küme hesaplamaları için kümenin her bir elemanının doğru tanımlanması gerekir; süslü parantez içindeki ifadeler tek bir eleman olarak sayılır.
2
Koşulun ilk kısmını uygula: {1,2}\{1, 2\} elemanını alt kümede sabitle.
Geriye kalan elemanlar: {1,2,{1},{1,2,3},∅}\{1, 2, \{1\}, \{1, 2, 3\}, \emptyset \}.
Bir elemanın bulunması istendiğinde o eleman seçilir ve kalan elemanlar üzerinden diğer koşullar değerlendirilir.
3
Kalan 5 eleman ile oluşturulabilecek toplam alt küme sayısını bul.
25=322^5 = 32.
nn elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n2^n formülü ile hesaplanır.
4
'En çok biri' koşulunu (tüm durumlar - istenmeyen durumlar) yöntemini kullanarak hesapla.
İstenmeyen durum: {1}\{1\} ve 22 elemanlarının ikisinin de aynı anda bulunmasıdır. {1}\{1\} ve 22 sabitlendiğinde geriye kalan 3 eleman (1,{1,2,3},∅1, \{1, 2, 3\}, \emptyset) ile 23=82^3 = 8 alt küme oluşur.
'En çok biri' ifadesi; 'hiçbiri', 'sadece {1}\{1\}' veya 'sadece 22' durumlarını kapsar. Bu da 'ikisi birden bulunmasın' demektir.
5
Sonucu hesapla.
32−8=2432 - 8 = 24.
Toplam alt küme sayısından koşulu bozan (ikisinin de bulunduğu) durumlar çıkarılarak istenen sayıya ulaşılır.

Anahtar Kavram

Alt küme sayısını hesaplarken belirli elemanların bulunma veya bulunmama koşullarının kombinatoryal yöntemlerle analizi.
Soru 10Soru →

A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesi veriliyor. Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir asal sayı ve en az bir çift sayı bulunur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 106

Cevap

İstenen şartları sağlayan 106 farklı alt küme vardır.
Soruda 'en az bir asal' ve 'en az bir çift' şartı arandığından, tüm durumlardan bu şartların sağlanmadığı durumları çıkarmak en pratik yoldur. İstenmeyen durumlar: 'Hiç asal sayı bulunmaması' VEYA 'Hiç çift sayı bulunmaması'dır. Bu iki kümenin birleşimini bulurken kesişimlerini (hem asal olmayan hem çift olmayanlar) çıkarmayı unutmamak gerekir. Tüm durum (128128) eksi İstenmeyen (8+16−2=228 + 16 - 2 = 22) işlemi sonucunda 106106 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeyi analiz et ve toplam alt küme sayısını bul.
A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesinin 7 elemanı vardır. Tüm alt kümelerin sayısı 27=1282^7 = 128'dir.
Tüm durumların sayısını belirlemek, istenmeyen durumları çıkarmak için gereklidir.
2
İstenmeyen durumları tanımla (Tümleyen Mantığı).
İstenen: (En az 1 Asal) VE (En az 1 Çift). İstenmeyen (Tümleyen): (Hiç Asal Yok) VEYA (Hiç Çift Yok).
Doğrudan hesaplamak yerine tümleyen yöntemini kullanmak bu tip sorularda daha pratiktir.
3
'Hiç Asal Yok' durumunu hesapla.
Asal sayılar: {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\}. Asal olmayanlar: {1,4,6}\{1, 4, 6\} (3 eleman). Alt küme sayısı: 23=82^3 = 8.
Sadece asal olmayan elemanlardan oluşan alt kümeler, 'en az bir asal sayı' şartını sağlamaz.
4
'Hiç Çift Yok' durumunu hesapla.
Çift sayılar: {2,4,6}\{2, 4, 6\}. Çift olmayanlar (Tekler): {1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\} (4 eleman). Alt küme sayısı: 24=162^4 = 16.
Sadece tek sayılardan oluşan alt kümeler, 'en az bir çift sayı' şartını sağlamaz.
5
Kesişim durumunu (Hem Asal Yok Hem Çift Yok) hesapla.
Asal olmayan VE Çift olmayan elemanlar: {1}\{1\} (Sadece 1 elemanı). Alt küme sayısı: 21=22^1 = 2.
Birleşim formülünde (s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)) kesişimi iki kere çıkarmamak için bu değeri bulmalıyız.
6
İstenmeyen durumların toplam sayısını ve sonucu bul.
İstenmeyen = 8+16−2=228 + 16 - 2 = 22. Sonuç = Tüm Durumlar - İstenmeyen = 128−22=106128 - 22 = 106.
De Morgan kuralı ve küme birleşim prensibi ile doğru sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tümleyen Yöntemi ile Alt Küme Hesabı (De Morgan Kuralı)

İpuçları

1
İstenen durumu doğrudan saymak yerine, tüm durumlardan 'istenmeyen' durumları çıkarmayı deneyin.
2
İstenmeyen durumlar şunlardır: Kümede hiç asal sayı olmaması VEYA kümede hiç çift sayı olmaması.
3
Asal olmayanların alt küme sayısı ile çift olmayanların alt küme sayısını toplayın, ancak her iki gruba da girenleri (kesişimi) bir kez çıkarmayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'en az bir negatif sayı ve en az bir pozitif sayı' şartıyla çözmeyi deneyin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 11Soru →

Matematikte bir AA kümesinin her elemanı aynı zamanda bir BB kümesinin de elemanı ise AA kümesine BB kümesinin bir alt kümesi denir. Bu durum A⊆BA \subseteq B sembolü ile gösterilir.

Buna göre, K={a,b,c}K = \{a, b, c\} kümesi verildiğinde aşağıdakilerden hangisi KK kümesinin bir alt kümesi değildir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {b,d}\{b, d\}

Cevap

İçinde 'd' elemanını barındıran küme, KK kümesinin bir alt kümesi değildir.
Doğru cevap olan seçenek, içinde 'd' harfini barındırmaktadır. K={a,b,c}K = \{a, b, c\} kümesinin elemanları arasında 'd' harfi bulunmadığı için, bu elemanı içeren herhangi bir küme KK'nın alt kümesi olamaz.

Adım Adım Çözüm

1
KK kümesinin elemanlarını belirle.
KK kümesi a,ba, b ve cc elemanlarından oluşmaktadır.
Alt küme kontrolü yapabilmek için önce ana kümenin sınırlarını bilmemiz gerekir.
2
Alt küme tanımını seçeneklere uygula.
∅\emptyset (boş küme), {a,c}\{a, c\} ve {a,b,c}\{a, b, c\} kümelerinin tüm elemanları KK kümesinde mevcuttur. Ancak {b,d}\{b, d\} kümesindeki 'd' elemanı KK kümesinde yoktur.
Bir kümenin alt küme olabilmesi için o kümedeki tüm elemanların ana kümede de bulunması şarttır.

Anahtar Kavram

Alt küme tanımı ve temel özellikleri (boş küme ve kümenin kendisi)

İpuçları

1
Alt küme demek, bir kümenin içinden seçilen bazı (veya hiç veya tüm) elemanlarla oluşturulan yeni bir küme demektir.
2
Seçeneklerdeki her bir elemanın K={a,b,c}K = \{a, b, c\} kümesinin içinde olup olmadığını tek tek kontrol edin.
3
Boş kümenin (∅\emptyset) ve kümenin kendisinin her zaman birer alt küme olduğunu, ancak kümede olmayan bir elemanın (örneğin 'd') alt kümede bulunamayacağını unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Bir kümenin eleman sayısı biliniyorsa, toplam alt küme sayısının 2n2^n formülü ile nasıl hesaplandığını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek elemanları yerleştirebilir ve her bir seçeneğin bu şemanın sınırları içinde kalıp kalmadığını görsel olarak kontrol edebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 12Soru →

A={∅,{∅},{{∅}},{1},{1,{∅}}}A = \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, \{ \{ \emptyset \} \}, \{ 1 \}, \{ 1, \{ \emptyset \} \} \} kümesi veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {1,{∅}}⊆A\{ 1, \{ \emptyset \} \} \subseteq A

Cevap

Verilen seçenekler arasında yanlış olan ifade '{1,{∅}}⊆A\{ 1, \{ \emptyset \} \} \subseteq A' ifadesidir.
{1,{∅}}⊆A\{ 1, \{ \emptyset \} \} \subseteq A ifadesinin doğru olabilmesi için 1∈A1 \in A ve {∅}∈A\{ \emptyset \} \in A önermelerinin her ikisinin de doğru olması gerekir. AA kümesine bakıldığında {∅}\{ \emptyset \} bir elemandır (e2e_2), ancak 11 sayısı kümenin bir elemanı değildir. Kümedeki ilgili eleman {1}\{ 1 \} şeklindedir (e4e_4). Bir elemanın küme parantezi içinde olması ile olmaması matematiksel olarak farklı nesneleri temsil eder. Dolayısıyla 1∉A1 \notin A olduğu için {1,{∅}}\{ 1, \{ \emptyset \} \} kümesi AA'nın bir alt kümesi olamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Kümenin elemanlarını tek tek belirleyin.
AA kümesinin 5 elemanı vardır: e1=∅e_1 = \emptyset, e2={∅}e_2 = \{ \emptyset \}, e3={{∅}}e_3 = \{ \{ \emptyset \} \}, e4={1}e_4 = \{ 1 \} ve e5={1,{∅}}e_5 = \{ 1, \{ \emptyset \} \}.
Alt küme ve eleman ilişkisini doğru kurmak için önce kümenin sınırlarını netleştirmek gerekir.
2
Alt küme (subseteq\\subseteq) tanımını uygulayın.
X⊆AX \subseteq A olması için XX kümesinin her bir elemanının AA kümesinin de elemanı olması gerekir.
Yanlış olan seçeneği bulmak için kapsama özelliğini test etmeliyiz.
3
İlgili seçeneği (C seçeneği) bu tanıma göre inceleyin.
{1,{∅}}\{ 1, \{ \emptyset \} \} kümesinin elemanları 11 ve {∅}\{ \emptyset \}'dir. AA kümesinde {∅}\{ \emptyset \} elemanı varken (e2e_2), 11 sayısı tek başına bir eleman değildir (e4e_4 elemanı {1}\{ 1 \}'dir).
Bir kümede 11 elemanı bulunmuyorsa, 11'i kapsayan herhangi bir küme AA'nın alt kümesi olamaz.

Anahtar Kavram

Bir kümenin elemanları ile alt kümeleri arasındaki fark; özellikle sembolik ve iç içe geçmiş kümelerde eleman olma (in\\in) ve alt küme olma (subseteq\\subseteq) ilişkisi.

Alternatif Yöntem

Elemanları sembollerle (e1,e2,...e_1, e_2, ...) etiketleyerek karmaşıklığı azaltabilirsiniz. Eğer bir ifade ∈\in ile soruluyorsa listede aynen var mı diye bakın; ⊆\subseteq ile soruluyorsa süslü parantez içindeki her parçanın listede tek başına olup olmadığını kontrol edin.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 13Soru →

Bir kümenin en az 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı 247'dir. Buna göre, bu kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 56

Cevap

Kümenin eleman sayısı 8 olarak bulunur ve 3 elemanlı alt küme sayısı 56'dır.
Kümenin eleman sayısı n olsun. Tüm alt kümelerin sayısı 2n2^n dir. 'En az 2 elemanlı' ifadesi, 0 elemanlı (boş küme) ve 1 elemanlı alt kümelerin hariç tutulduğu anlamına gelir. Denklem 2n−(n0)−(n1)=2472^n - \binom{n}{0} - \binom{n}{1} = 247 şeklinde kurulur. Buradan 2n−1−n=247⇒2n−n=2482^n - 1 - n = 247 \Rightarrow 2^n - n = 248 elde edilir. Deneme yoluyla n=8n=8 olduğu görülür (28−8=256−8=2482^8 - 8 = 256 - 8 = 248). Soruda istenen 3 elemanlı alt küme sayısı ise (83)=8⋅7⋅63⋅2⋅1=56\binom{8}{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
En az 2 elemanlı alt küme sayısı formülünü oluştur.
2^n - C(n,0) - C(n,1) = 247
Tüm alt kümelerden 0 ve 1 elemanlı olanları çıkararak en az 2 elemanlı olanları ifade ederiz.
2
Denklemi düzenle ve n değerini bul.
2^n - 1 - n = 247 ⇒ 2^n - n = 248 ⇒ n = 8
2^8 = 256 ve 256 - 8 = 248 olduğu için n=8 denklemi sağlar.
3
Bulunan n değerini kullanarak 3 elemanlı alt küme sayısını hesapla.
C(8,3) = (8 × 7 × 6) / (3 × 2 × 1) = 56
Kombinasyon formülü kullanılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Alt Küme Sayısı ve Kombinasyon İlişkisi
Soru 14Soru →

A={1,2}A = \{1, 2\} ve B={2,3}B = \{2, 3\} kümeleri veriliyor. Bu kümeler ve alt küme özellikleri dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: AA ve BB kümelerinin birleşimi olan A∪B={1,2,3}A \cup B = \{1, 2, 3\} kümesi, AA kümesinin bir alt kümesidir.

Cevap

İki kümenin birleşimi olan A∪BA \cup B kümesi, AA kümesini kapsar (A⊆A∪BA \subseteq A \cup B), ancak her zaman AA kümesinin bir alt kümesi değildir.
Doğru cevap olan ifade yanlıştır çünkü birleşim işlemi kümelerin bir araya gelmesiyle oluşur. Verilen örnekte A∪B={1,2,3}A \cup B = \{1, 2, 3\} kümesinin '3' elemanı AA kümesinde bulunmadığı için birleşim kümesi AA'nın bir alt kümesi olamaz. Aksine AA, birleşim kümesinin bir alt kümesidir (A⊆A∪BA \subseteq A \cup B).

Adım Adım Çözüm

1
Alt küme tanımını ve temel özelliklerini hatırla.
Boş küme her kümenin alt kümesidir ve her küme kendisinin alt kümesidir.
Bu özellikler alt küme kavramının evrensel kurallarıdır.
2
AA kümesinin eleman sayısını belirle ve alt küme sayısını hesapla.
s(A)=2s(A) = 2 olduğu için alt küme sayısı 22=42^2 = 4'tür.
Alt küme sayısı 2n2^n formülü ile bulunur.
3
Kesişim ve birleşim kümelerinin alt küme ilişkilerini incele.
A∩B={2}A \cap B = \{2\} kümesi AA'nın içindedir, ancak A∪B={1,2,3}A \cup B = \{1, 2, 3\} kümesi AA'dan daha geniş bir kümedir.
Kesişim işlemi kümeyi küçültür veya eşit bırakır (alt küme yapar), birleşim işlemi ise kümeyi büyütür veya eşit bırakır (kapsayan küme yapar).

Anahtar Kavram

Alt Küme Tanımı ve Özellikleri

İpuçları

1
Bir kümenin alt kümesi olabilmesi için o kümenin tüm elemanlarının ana kümede bulunması gerekir.
2
Boş kümenin her kümenin alt kümesi olduğunu ve her kümenin kendisinin bir alt kümesi olduğunu unutmayın.
3
Birleşim (A∪BA \cup B) ve kesişim (A∩BA \cap B) kümelerini yazarak hangisinin elemanlarının AA kümesinin içinde kaldığını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Bir kümenin eleman sayısı 1 artarsa alt küme sayısının nasıl değiştiğini inceleyen soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek A ve B kümelerini yerleştirin. Kesişim bölgesinin A'nın içinde kaldığını, ancak birleşim bölgesinin A'nın sınırlarını aştığını görsel olarak görebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 15Soru →

A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesi veriliyor. Buna göre, AA kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinin en küçük elemanı bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Verilen kümenin 3 elemanlı alt kümelerinden 13 tanesinin en küçük elemanı bir çift sayıdır.
Doğru cevap olan 13, kümedeki çift sayıların (2 ve 4) en küçük eleman olma durumlarının ayrı ayrı hesaplanıp toplanmasıyla elde edilir. En küçük eleman 2 olduğunda geriye kalan 5 elemandan 2 tane, en küçük eleman 4 olduğunda ise geriye kalan 3 elemandan 2 tane seçilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki çift sayıları belirleyin.
Çift sayılar: {2,4,6}\{2, 4, 6\}.
En küçük elemanın bir çift sayı olması istendiği için başlangıç noktamız budur.
2
En küçük elemanın 2 olduğu durumları hesaplayın.
C(5,2)=10C(5, 2) = 10.
En küçük eleman 2 ise, kalan 2 eleman {3,4,5,6,7}\{3, 4, 5, 6, 7\} kümesinden (5 eleman arasından) seçilmelidir.
3
En küçük elemanın 4 olduğu durumları hesaplayın.
C(3,2)=3C(3, 2) = 3.
En küçük eleman 4 ise, kalan 2 eleman {5,6,7}\{5, 6, 7\} kümesinden (3 eleman arasından) seçilmelidir.
4
En küçük elemanın 6 olduğu durumları kontrol edin.
C(1,2)=0C(1, 2) = 0.
En küçük eleman 6 ise, kalan 2 eleman sadece {7}\{7\} kümesinden seçilebilir ki bu mümkün değildir (en az 2 eleman gereklidir).
5
Bulunan tüm durumları toplayın.
10+3=1310 + 3 = 13.
Farklı durumlar ayrık olaylar olduğu için toplamları genel sonucu verir.

Anahtar Kavram

Alt kümelerde eleman seçimi ve en küçük/en büyük eleman sınırlamaları genellikle kombinasyon yardımıyla çözülür.

İpuçları

1
Kümedeki çift sayıları (2, 4, 6) listeleyerek işe başlayın.
2
En küçük eleman 2 ise, diğer iki elemanı 2'den büyük olanlar arasından seçmelisiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla 'en büyük elemanı tek sayı olan' 3 elemanlı alt küme sayısını bulmaya çalışın.

Alternatif Yöntem

Koşulu sağlayan tüm kümeleri listeleyebilirsiniz: {2,3,4}, {2,3,5}, {2,3,6}, {2,3,7}, {2,4,5}, {2,4,6}, {2,4,7}, {2,5,6}, {2,5,7}, {2,6,7} (10 tane) ve {4,5,6}, {4,5,7}, {4,6,7} (3 tane). Toplam 13 küme.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 16Soru →

Bir AA kümesinin eleman sayısı, BB kümesinin eleman sayısından 3 fazladır. AA kümesinin alt küme sayısı, BB kümesinin alt küme sayısından 112 fazla olduğuna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

A kümesinin eleman sayısı 7'dir.
Verilen bilgilere göre kurulan 2n+3−2n=1122^{n+3} - 2^n = 112 denklemi çözüldüğünde BB kümesinin eleman sayısı 4, AA kümesinin eleman sayısı ise bunun 3 fazlası olan 7 olarak bulunur. 128 (A'nın alt küme sayısı) ile 16 (B'nin alt küme sayısı) arasındaki fark tam olarak 112'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Küme eleman sayılarını isimlendirme
s(B)=ns(B) = n ise s(A)=n+3s(A) = n+3
AA kümesinin eleman sayısının BB kümesinden 3 fazla olduğu bilgisi kullanıldı.
2
Alt küme sayısı formülünü uygulama
2n+3−2n=1122^{n+3} - 2^n = 112
Bir kümenin alt küme sayısı 2n2^n formülü ile hesaplanır ve farkın 112 olduğu verilmiştir.
3
Üslü denklemi ortak paranteze alarak çözme
2n⋅(23−1)=112⇒2n⋅7=1122^n \cdot (2^3 - 1) = 112 \Rightarrow 2^n \cdot 7 = 112
2n+32^{n+3} ifadesi 2n⋅232^n \cdot 2^3 olarak yazılarak 2n2^n parantezine alındı.
4
2n2^n değerini ve nn'i bulma
2n=16⇒n=42^n = 16 \Rightarrow n = 4
112 sayısı 7'ye bölündüğünde 16 elde edilir ve 24=162^4 = 16 olduğu için n=4n=4 bulunur.
5
AA kümesinin eleman sayısını hesaplama
s(A)=4+3=7s(A) = 4 + 3 = 7
En başta s(A)=n+3s(A) = n+3 olarak tanımlandığı için nn yerine 4 yazılarak sonuca ulaşıldı.

Anahtar Kavram

Alt küme sayısı 2n2^n formülü ile bulunur.

İpuçları

1
Bir kümenin eleman sayısı nn ise alt küme sayısı 2n2^n formülüyle bulunur.
2
BB kümesinin eleman sayısına nn derseniz, AA kümesinin eleman sayısı n+3n+3 olur. Alt küme sayıları farkını veren denklemi yazın.
3
2n+3−2n=1122^{n+3} - 2^n = 112 denklemini 2n(23−1)=1122^n(2^3 - 1) = 112 şeklinde ortak paranteze alarak çözmeyi deneyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, özalt küme sayısı verildiğinde eleman sayısını bulma sorularını çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Küçük değerlerden başlayarak deneme yapabilirsiniz. 2n2^n değerlerini listelediğimizde (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128...) hangi iki değer arasındaki farkın 112 olduğuna bakın. 128 ile 16 farkı 112'dir. Bu da 7 elemanlı ve 4 elemanlı iki kümeye karşılık gelir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 17Soru →

Elemanları tam sayılardan oluşan A={−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5}A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} kümesi veriliyor.

Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde, elemanların çarpımı negatif bir tam sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 128

Cevap

Çarpımı negatif olan 128 farklı alt küme vardır.
Bir sayı kümesindeki elemanların çarpımının negatif olması için, kümede 0 bulunmamalı ve negatif eleman sayısı tek (1, 3, 5...) olmalıdır. Pozitif elemanlar sonucu etkilemez. A kümesinde 3 negatif (−3,−2,−1-3, -2, -1) ve 5 pozitif (1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5) sayı vardır. Tek sayıda negatif seçimi (1 veya 3 tane) (31)+(33)=4\binom{3}{1} + \binom{3}{3} = 4 yolla yapılır. Pozitiflerden herhangi bir alt küme 25=322^5 = 32 yolla seçilir. Çarpma kuralı gereği toplam 4×32=1284 \times 32 = 128 alt küme vardır.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesindeki elemanları işaretlerine göre gruplandır.
Negatifler: {−3,−2,−1}\{-3, -2, -1\} (3 eleman), Pozitifler: {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\} (5 eleman), Nötr: {0}\{0\} (1 eleman).
Çarpım sonucunun işaretini belirlemek için elemanların türlerini bilmek gerekir.
2
Çarpımın negatif olması için gereken koşulu belirle.
Küme içinde '0' elemanı BULUNMAMALIDIR ve 'tek sayıda' negatif eleman BULUNMALIDIR.
Bir kümede 0 varsa çarpım 0 olur. Negatif sayıların adedi çift ise çarpım pozitif, tek ise negatif olur. Pozitif sayıların adedi işareti etkilemez.
3
Negatif elemanların seçim sayısını hesapla.
3 negatif elemandan tek sayıda (1 veya 3) seçim yapılmalıdır: (31)+(33)=3+1=4\binom{3}{1} + \binom{3}{3} = 3 + 1 = 4 farklı yol.
1 tane negatif seçilirse çarpım eksi olur, 3 tane seçilirse yine eksi olur.
4
Pozitif elemanların seçim sayısını hesapla.
5 pozitif elemandan istenildiği kadar (hiçbiri, bazıları veya hepsi) seçilebilir: 25=322^5 = 32 farklı yol.
Pozitif sayıların varlığı veya yokluğu çarpımın işaretini değiştirmez.
5
Toplam durumu hesapla (Çarpma kuralı).
Negatif seçimleri ×\times Pozitif seçimleri = 4×32=1284 \times 32 = 128.
Bağımsız seçimlerin kombinasyonu için çarpma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Alt Küme Sayısı ve Çarpma Kuralı

İpuçları

1
Bir çarpma işleminin sonucunun negatif olması için çarpanlardan kaç tanesinin negatif olması gerektiğini düşünün.
2
Kümedeki '0' elemanını alırsanız çarpım ne olur? Negatif olması için 0'ı kümeye dahil etmeli misiniz?
3
Çarpımın negatif olması için TEK sayıda (1 veya 3) negatif sayı seçmelisiniz. Pozitif sayıları seçmekte özgürsünüz.

Daha Fazla Pratik

Aynı kümenin elemanları çarpımının 'pozitif' olduğu alt küme sayısı kaçtır? (İpucu: Boş kümenin çarpımının 1 kabul edildiği durumları inceleyin).

Alternatif Yöntem

Simetri Yöntemi: 0 hariç geriye kalan 8 elemanlı kümenin (A′A') tüm alt kümelerinin sayısı 28=2562^8 = 256'dır. Bu alt kümelerin yarısında negatif sayıların adedi tek, diğer yarısında çifttir (veya hiç yoktur). Bu matematiksel simetri gereği, çarpımı negatif olanların sayısı 256/2=128256 / 2 = 128 olur.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 18Soru →

A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesi veriliyor. Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde 11 elemanı bulunur, 22 elemanı bulunmaz ve kümenin eleman sayısı en az 44 olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16
İstenen alt kümede 11 mutlaka bulunacak ve 22 bulunmayacaktır. Geriye kalan {3,4,5,6,7}\{3, 4, 5, 6, 7\} kümesinden (5 eleman), alt kümenin toplam eleman sayısını en az 4 yapmak için, mevcut olan 11 elemanının yanına en az 3 eleman daha seçmemiz gerekir. Bu durumlar: 3 eleman seçimi ((53)=10\binom{5}{3}=10), 4 eleman seçimi ((54)=5\binom{5}{4}=5) ve 5 eleman seçimi ((55)=1\binom{5}{5}=1) şeklindedir. Toplam: 10+5+1=1610+5+1=16.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeyi ve koşulları analiz et
Küme A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}. İstenen alt küme SS olsun. Koşullar: 1∈S1 \in S, 2∉S2 \notin S ve ∣S∣≥4|S| \ge 4.
Problemi matematiksel sembollerle ifade ederek çözüm yolunu netleştirmek için.
2
Seçim havuzunu belirle
11 kesinlikle var, 22 kesinlikle yok. Geriye kalan seçilebilir elemanlar: {3,4,5,6,7}\{3, 4, 5, 6, 7\}. Havuzdaki eleman sayısı n=5n = 5.
Alt kümenin geri kalan kısmını oluşturacağımız eleman kümesini belirlemek için.
3
Gerekli ek eleman sayısını hesapla
Alt kümede zaten 11 elemanı var (1 tane). Toplam eleman sayısının en az 44 olması için, havuzdan en az 4−1=34 - 1 = 3 eleman daha seçilmelidir.
Sabit eleman hesaba katılarak kombinasyon hesabında kaç eleman seçilmesi gerektiğini bulmak için.
4
Kombinasyonları hesapla ve topla
5 elemanlı havuzdan 3, 4 veya 5 eleman seçme durumları: (53)+(54)+(55)=10+5+1=16\binom{5}{3} + \binom{5}{4} + \binom{5}{5} = 10 + 5 + 1 = 16.
Tüm olası geçerli durumların sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Alt Küme Oluşturma ve Kombinasyon

İpuçları

1
Önce 11'in kesinlikle bulunduğu ve 22'nin kesinlikle bulunmadığı durumu düşünün. Geriye seçim yapabileceğiniz kaç eleman kalıyor?
2
Alt kümede zaten 11 elemanı var (1 tane). Toplam eleman sayısının en az 4 olması için, geriye kalan havuzdan en az kaç tane daha seçmelisiniz?
3
Geriye kalan 5 elemandan; 3 tane, 4 tane veya 5 tane seçtiğiniz durumları toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 'en çok 4 elemanlı' koşulu olan bir soru çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Tüm Durumdan Çıkarma Yöntemi: 1'in olduğu ve 2'nin olmadığı tüm alt kümelerin sayısı 25=322^5 = 32'dir. Bunlardan istenmeyen durumları (toplam eleman sayısı 4'ten az olanları) çıkarabilirsiniz. İstenmeyen durumlar: Sadece {1} (0 ek seçim), {1, x} (1 ek seçim), {1, x, y} (2 ek seçim).
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 19Soru →

A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\} kümesi veriliyor. Bir kümenin her elemanı diğer bir kümenin de elemanı ise bu kümeye alt küme denir ve ⊆\subseteq sembolü ile gösterilir.

Buna göre, AA kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde en az bir asal sayı bulunur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Kümenin alt kümelerinden 12 tanesinde en az bir asal sayı bulunur.
Verilen A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\} kümesinin toplam 24=162^4 = 16 tane alt kümesi vardır. Bu kümelerden içinde hiç asal sayı ({2,3}\{2, 3\}) bulunmayanlar, sadece asal olmayan {1,4}\{1, 4\} elemanlarından oluşan alt kümelerdir. Bunların sayısı 22=42^2 = 4'tür. Toplam alt küme sayısından bu 4 küme çıkarıldığında (boş küme dahil), geriye kalan 12 alt kümenin her birinde mutlaka en az bir tane asal sayı (2 veya 3) bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümenin eleman sayısını belirlemek.
s(A)=4s(A) = 4
Alt küme sayısını hesaplamak için toplam eleman sayısına ihtiyaç vardır.
2
Toplam alt küme sayısını hesaplamak.
24=162^4 = 16
nn elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n2^n formülü ile bulunur.
3
Kümedeki asal olan ve olmayan elemanları belirlemek.
Asal olanlar: {2,3}\{2, 3\}, Asal olmayanlar: {1,4}\{1, 4\}
"En az bir" sorularında tüm durumlardan istenmeyen durumları (asal olmayanları) çıkarmak en kısa yoldur.
4
İçinde hiç asal sayı bulunmayan alt küme sayısını bulmak.
s({1,4})=2s(\{1, 4\}) = 2 olduğu için 22=42^2 = 4
Sadece asal olmayan elemanlardan oluşan alt kümeler, içinde asal sayı barındırmaz.
5
Tüm alt kümelerden istenmeyenleri çıkarmak.
16−4=1216 - 4 = 12
Tüm durumlar - Hiç asal içermeyenler = En az bir asal içerenler.

Anahtar Kavram

Alt küme kavramı ve 'en az bir' içeren durumların tüm durumlardan çıkarma yoluyla bulunması.

İpuçları

1
Bir kümenin alt küme sayısını 2n2^n formülü ile hesaplayabileceğini hatırla.
2
Kümedeki asal sayıları (2 ve 3) ve asal olmayan sayıları (1 ve 4) gruplandır.
3
'En az bir' ifadesi geçen sorularda; tüm alt kümelerin sayısından, içinde hiç asal sayı olmayanların sayısını çıkarmak seni doğrudan sonuca götürür.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, elemanları harflerden oluşan bir kümede 'en az bir sesli harf bulunan' alt küme sayısını hesaplamayı deneyebilirsin.

Alternatif Yöntem

İçinde sadece bir asal olan alt kümeleri ({2}\{2\} içerenler ve {3}\{3\} içerenler) ve her iki asalı da içerenleri ({2,3}\{2, 3\} içerenler) ayrı ayrı hesaplayıp toplayabilirsin. Ancak 'tüm durumlar - istenmeyen durum' yöntemi çok daha pratiktir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 20Soru →

A={1,2,3,…,10}A = \{1, 2, 3, \dots, 10\} kümesi veriliyor.

Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde, kümenin en küçük elemanı ile en büyük elemanının toplamı 11'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 341

Cevap

341
Soruda, alt kümenin en küçük (minmin) ve en büyük (maxmax) elemanlarının toplamının 11 olması istenmektedir. Kümeler tam sayılardan oluştuğu için min≠maxmin \neq max olmak zorundadır (toplam tek sayı). Bu şartı sağlayan (min,max)(min, max) çiftleri şunlardır: (1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6)(1,10), (2,9), (3,8), (4,7), (5,6). Her bir çift için, alt küme bu iki elemanı kesinlikle içermeli, geri kalan elemanlar ise bu iki sayı arasındaki sayılardan seçilmelidir. Aradaki eleman sayısı nn ise, o durum için 2n2^n farklı alt küme yazılabilir. Hesaplanan değerlerin toplamı (256+64+16+4+1256 + 64 + 16 + 4 + 1) 341 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Problemin kısıtlarını ve temel mantığını belirle.
Alt kümenin en küçük elemanı xx, en büyük elemanı yy olsun. x+y=11x + y = 11 ve x≤yx \le y olmalıdır. Bir kümede elemanlar birbirinden farklı olduğu için x≠yx \neq y olmalıdır (çünkü x=yx=y ise 2x=112x=11 olur, x=5.5x=5.5 tam sayı değildir). Bu nedenle küme en az 2 elemanlı olmalıdır.
Soruda verilen toplam şartını sağlayan olası en küçük ve en büyük eleman çiftlerini tespit etmek için.
2
Toplamı 11 olan (x,y)(x, y) çiftlerini ve bu çiftler arasındaki eleman sayısını belirle.
Olası çiftler (1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6)(1,10), (2,9), (3,8), (4,7), (5,6)'dır. Her çift için, bu iki sayı arasında kalan elemanlar alt kümeye dahil edilebilir veya edilmeyebilir.
Bir alt kümenin en küçük ve en büyük elemanı belirlendiğinde, diğer elemanlar sadece bu iki değer arasındaki sayılardan seçilebilir.
3
Her durum için oluşabilecek alt küme sayısını hesapla (2n2^n formülü ile).
Durum 1: {1,…,10}\{1, \dots, 10\} (Arada 2,3,..,92,3,..,9 var, 8 eleman) →28=256\rightarrow 2^8 = 256 durum.
Durum 2: {2,…,9}\{2, \dots, 9\} (Arada 3,..,83,..,8 var, 6 eleman) →26=64\rightarrow 2^6 = 64 durum.
Durum 3: {3,…,8}\{3, \dots, 8\} (Arada 4,..,74,..,7 var, 4 eleman) →24=16\rightarrow 2^4 = 16 durum.
Durum 4: {4,…,7}\{4, \dots, 7\} (Arada 5,65,6 var, 2 eleman) →22=4\rightarrow 2^2 = 4 durum.
Durum 5: {5,6}\{5, 6\} (Arada eleman yok, 0 eleman) →20=1\rightarrow 2^0 = 1 durum.
Aradaki her eleman kümede ya vardır ya yoktur, bu da alt küme sayısını verir.
4
Tüm durumları topla.
Toplam = 256+64+16+4+1=341256 + 64 + 16 + 4 + 1 = 341.
Ayrık durumların toplam sayısı nihai sonucu verir.

Anahtar Kavram

Alt Küme Oluşturma ve Sayma Prensipleri

İpuçları

1
Alt kümenin en küçük elemanı xx ve en büyük elemanı yy olsun. x+y=11x + y = 11 eşitliğini sağlayan kaç farklı (x,y)(x, y) tam sayı çifti vardır?
2
Her (x,y)(x, y) çifti için, alt küme mutlaka xx ve yy'yi içermelidir. Diğer elemanlar ise xx ile yy arasındaki sayılardan seçilmelidir.
3
Çiftler: (1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6)(1,10), (2,9), (3,8), (4,7), (5,6). Her çift için arada kalan eleman sayısını (nn) bulup 2n2^n değerlerini toplayın. Örneğin (5,6) arasında hiç sayı yoktur, n=0n=0 olur.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, en küçük ve en büyük eleman farkının sabit bir sayı olduğu durumlar incelenebilir.

Alternatif Yöntem

Toplamı: ∑k=0422k=1+4+16+64+256=45−14−1=341\sum_{k=0}^{4} 2^{2k} = 1 + 4 + 16 + 64 + 256 = \frac{4^5 - 1}{4 - 1} = 341 formülü ile seri toplamı olarak da düşünülebilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Sayfa 1 / 2Sonraki