Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Gerçel sayılar kümesinin ( R \,\mathbb{R}\,, reel sayılar) bir alt kümesi olan KK kümesi aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

K={x∣x=a+b2 ve a,b∈Q} K = \{ x \mid x = a + b\sqrt{2} \text{ ve } a, b \in \mathbb{Q} \}

Bu tanıma göre, KK kümesi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

  1. A
    Rasyonel sayılar kümesi (Q\mathbb{Q}), KK kümesinin bir alt kümesidir.
  2. B
    KK kümesindeki iki irrasyonel sayının çarpımı rasyonel bir sayı olabilir.
  3. C
    KK kümesindeki sıfırdan farklı her elemanın çarpma işlemine göre tersi de KK kümesindedir.
  4. D
    KK kümesi toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır.
  5. Sayı doğrusu üzerindeki tüm irrasyonel sayılar KK kümesinde yer alır.Cevap

Cevap

Sayı doğrusu üzerindeki tüm irrasyonel sayıların KK kümesinde yer aldığı ifadesi yanlıştır.
Tanımlanan KK kümesi, sadece rasyonel sayılar ve 2\sqrt{2} ile türetilebilen sayıları içerir. Ancak irrasyonel sayılar kümesi çok daha geniştir (örneğin 3,5,π,e\sqrt{3}, \sqrt{5}, \pi, e gibi). Bu sayılar a+b2a+b\sqrt{2} formunda yazılamadığı için kümenin içinde yer almazlar. Bu nedenle 'tüm irrasyonel sayılar KK kümesindedir' ifadesi yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
KK kümesinin tanımını analiz et.
KK kümesi, rasyonel sayılar (aa) ile 2\sqrt{2}'nin rasyonel katlarının (b2b\sqrt{2}) toplamından oluşan sayılardır.
Kümenin kapsamını belirlemek için elemanların genel formunu anlamak gerekir.
2
Doğru olduğu iddia edilen seçenekleri test et.
Rasyonel sayılar (b=0b=0 durumu), çarpımsal tersler (eşlenik) ve işlem kapalılığı özellikleri sağlanır.
Yanlış olan seçeneği bulmak için diğer seçeneklerin doğruluğu teyit edilmelidir.
3
Tüm irrasyonel sayıların kümeye dahil olup olmadığını kontrol et.
3\sqrt{3} sayısı irrasyoneldir ancak a,b∈Qa, b \in \mathbb{Q} olmak üzere a+b2=3a + b\sqrt{2} = \sqrt{3} eşitliğini sağlayan a,ba,b değerleri bulunamaz.
Kapsam iddiasını çürütmek için kümeye dahil olmayan bir karşıt örnek (counter-example) yeterlidir.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri Arasındaki İlişkiler ve Kapalılık Özellikleri

İpuçları

1
Kümenin tanımındaki aa ve bb sayılarını değiştirerek hangi sayıları elde edebileceğinizi düşünün. Örneğin b=0b=0 olursa ne olur?
2
Şıklardaki iddiaları çürütmek için 'karşıt örnek' (counter-example) bulmaya çalışın. Özellikle 'tüm' ifadesi geçen şıkkı sorgulayın.

Daha Fazla Pratik

İrrasyonel sayılarla işlemlerin sonucunun (toplam, çarpım) rasyonel olup olamayacağına dair sorular çözün.

Alternatif Yöntem

Şıklarda verilen önermeleri sayısal değerler vererek test edin. E şıkkı için 3\sqrt{3} sayısını a+b2a+b\sqrt{2} formunda yazıp yazamayacağınızı deneyin (a2=3−2b2...a^2 = 3 - 2b^2... gibi bir çelişkiye ulaşırsınız).
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Bu konudan daha fazla soru