Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇokgenler

Kenar sayıları birbirinden farklı olan iki düzgün çokgen tanımlanmıştır. Birinci düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü, ikinci düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsünün 7 katıdır. İkinci düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü ise birinci düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsünün 4 katıdır.

Buna göre, kenar sayısı daha fazla olan çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

  1. A
    27
  2. B
    90
  3. 135Cevap
  4. D
    170
  5. E
    252

Cevap

135
Soruda verilen açı ilişkileri kullanılarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurulur. Birinci çokgenin dış açısı xx, ikincisinin yy alındığında; 180−x=7y180-x=7y ve 180−y=4x180-y=4x eşitlikleri elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde x=40∘x=40^{\circ} ve y=20∘y=20^{\circ} bulunur. Dış açısı küçük olanın kenar sayısı daha fazladır (360/20=18360/20=18 kenarlı). 18 kenarlı bir düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı 18⋅152=135\frac{18 \cdot 15}{2} = 135 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımla ve denklemleri kur.
Birinci çokgenin dış açısı xx, ikinci çokgenin dış açısı yy olsun. İç açılar sırasıyla 180−x180-x ve 180−y180-y olur. Verilenlerden: 1) 180−x=7y180-x = 7y ve 2) 180−y=4x180-y = 4x denklemleri elde edilir.
Düzgün çokgenlerde bir iç açı ile bir dış açının toplamı 180 derecedir.
2
Denklem sistemini çöz.
İkinci denklemden y=180−4xy = 180 - 4x bulunur. Birinci denklemde yerine yazılırsa: 180−x=7(180−4x)⇒180−x=1260−28x⇒27x=1080⇒x=40∘180 - x = 7(180 - 4x) \Rightarrow 180 - x = 1260 - 28x \Rightarrow 27x = 1080 \Rightarrow x = 40^{\circ}. Buradan y=180−4(40)=20∘y = 180 - 4(40) = 20^{\circ} bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek dış açıları bulmak gerekir.
3
Kenar sayılarını bul.
Birinci çokgenin kenar sayısı n1=360/40=9n_1 = 360/40 = 9. İkinci çokgenin kenar sayısı n2=360/20=18n_2 = 360/20 = 18.
Düzgün çokgenin kenar sayısı n=360/dıs¸ ac¸ın = 360 / \text{dış açı} formülü ile bulunur.
4
Kenar sayısı fazla olanın (18) köşegen sayısını hesapla.
Köşegen sayısı = n(n−3)2=18(18−3)2=18×152=9×15=135\frac{n(n-3)}{2} = \frac{18(18-3)}{2} = \frac{18 \times 15}{2} = 9 \times 15 = 135.
Bir çokgenin toplam köşegen sayısı formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Çokgenlerde Açı ve Köşegen İlişkileri

İpuçları

1
Düzgün çokgenin bir dış açısına değişken vererek (örneğin x), iç açısını bu değişken cinsinden (180-x) ifade etmeyi deneyin.
2
İki farklı çokgen olduğu için iki farklı değişken kullanın: Birinin dış açısı x, diğerinin y olsun. Verilen kat ilişkilerini kullanarak iki denklem oluşturun.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmakta zorlanıyorsanız, dış açıların tam sayı olması gerektiğini düşünerek şıklardan gitmek yerine; 180'in bölenleri olan ve birbirinin 4 veya 7 katı ilişkisine uyan açıları tahmin etmeye çalışabilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Çokgenler

Bu konudan daha fazla soru