Examkin

Soru

Zorluk: ZorKümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde tanımlı AA ve BB kümeleri aşağıda verilmiştir:

A={x∈Z∣20x∈Z}A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid \frac{20}{x} \in \mathbb{Z} \}
B={x∈Z∣∣x−2∣≤4}B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid |x - 2| \le 4 \}

Buna göre, A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    11
  2. B
    13
  3. C
    14
  4. 15Cevap
  5. E
    17

Cevap

A ve B kümelerinin birleşim kümesinin eleman sayısı 15'tir.
Doğru cevaba ulaşmak için önce kümelerin elemanları açıkça listelenmelidir. A kümesi, 20 sayısını tam bölen tüm tam sayıları (negatifler dahil) içerir: {−20,−10,−5,−4,−2,−1,1,2,4,5,10,20}\{-20, -10, -5, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 5, 10, 20\} olmak üzere 12 elemanlıdır. B kümesi ise mutlak değer eşitsizliği −4≤x−2≤4-4 \le x-2 \le 4 şeklinde çözülerek elde edilen aralıktaki tam sayıları kapsar: {−2,−1,0,1,2,3,4,5,6}\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} olmak üzere 9 elemanlıdır. Bu iki kümenin ortak elemanları (kesişim) {−2,−1,1,2,4,5}\{-2, -1, 1, 2, 4, 5\} olup 6 tanedir. Birleşim formülü s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) uygulandığında 12+9−6=1512 + 9 - 6 = 15 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle yazınız.
A={−20,−10,−5,−4,−2,−1,1,2,4,5,10,20}A = \{-20, -10, -5, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 5, 10, 20\} (Toplam 12 eleman).
20x\frac{20}{x} ifadesinin tam sayı olması için xx'in 20'nin tam sayı böleni olması gerekir. Negatif bölenler unutulmamalıdır.
2
B kümesinin elemanlarını eşitsizliği çözerek bulunuz.
B={−2,−1,0,1,2,3,4,5,6}B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} (Toplam 9 eleman).
∣x−2∣≤4⇒−4≤x−2≤4⇒−2≤x≤6|x - 2| \le 4 \Rightarrow -4 \le x - 2 \le 4 \Rightarrow -2 \le x \le 6.
3
Kesişim kümesi A∩BA \cap B'yi belirleyiniz.
A∩B={−2,−1,1,2,4,5}A \cap B = \{-2, -1, 1, 2, 4, 5\} (Toplam 6 eleman).
Her iki kümede ortak olan elemanlar seçilir. 0 sayısı A kümesinde yoktur (tanımsızlık).
4
Birleşim formülünü kullanarak sonucu hesaplayınız.
s(A∪B)=12+9−6=15s(A \cup B) = 12 + 9 - 6 = 15.
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim Formülü ve Mutlak Değerli Eşitsizlikler
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru