Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Dizileri ve Örüntüler

Bir ziraat mühendisi, eğimli bir arazideki damlama sulama sistemini projelendirirken basınç dengelemesi için özel bir yerleşim planı uygulamıştır. Bu plana göre, su dağıtım hatları arazinin en üst kotundan aşağıya doğru sıralanmış ve her hatta bulunan damlatıcı (nozzle) sayıları belirli bir kurala göre artırılmıştır.

Yerleşim ve numaralandırma kuralları şöyledir:
* En üstteki 1. hatta 1 adet damlatıcı bulunmaktadır.
* Her bir alt hatta, bir üstteki hattan 2 adet fazla damlatıcı bulunmaktadır.
* Damlatıcılar, 1. hattan başlanarak ve her hatta soldan sağa doğru ilerlenerek 1'den itibaren ardışık tam sayılarla kodlanmıştır.

Buna göre, 13. hattın en başındaki (en sol) damlatıcı kodu ile aynı hattın en sonundaki (en sağ) damlatıcı kodunun toplamı kaçtır?

  1. A
    170
  2. B
    289
  3. 314Cevap
  4. D
    326
  5. E
    338

Cevap

314
Verilen kurala göre her huttaki damlatıcı sayısı ardışık tek sayılar (1, 3, 5...) şeklinde ilerlemektedir. n. huttaki son damlatıcı kodu, 1'den n. tek sayıya kadar olan sayıların toplamına, yani n²'ye eşittir. Bu durumda 13. hattın son damlatıcısı 13² = 169 olur. 13. hattın ilk damlatıcısı ise, 12. hattın son damlatıcısından (12² = 144) bir sonraki sayı olan 145'tir. İstenen toplam 145 + 169 = 314 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Her hattaki damlatıcı sayısını ve toplam damlatıcı sayısını veren kuralı belirle.
n. hatta (2n-1) adet damlatıcı vardır. n. hattın sonuna kadar olan toplam damlatıcı sayısı n² formülü ile bulunur.
1. hatta 1 (1²), 2. hatta 1+3=4 (2²), 3. hatta 1+3+5=9 (3²) olduğu görülür. Bu tek sayıların toplamı kuralıdır.
2
13. hattın en sonundaki damlatıcı kodunu hesapla.
13² = 169
Her hattın son elemanı, o hat numarasının karesine eşittir.
3
13. hattın en başındaki damlatıcı kodunu hesapla.
12² + 1 = 144 + 1 = 145
Bir hattın ilk elemanı, bir önceki hattın son elemanından 1 fazladır. 12. hattın sonu 144'tür.
4
Bulunan ilk ve son değerleri topla.
145 + 169 = 314
Soruda istenen değer bu iki kodun toplamıdır.

Anahtar Kavram

Ardışık Tek Sayıların Toplamı ve Karesel Örüntüler

İpuçları

1
Her hattaki damlatıcı sayısının nasıl arttığını inceleyin (1, 3, 5...). Bu sayıların toplamı size o hattın sonundaki numarayı verecektir.
2
n. hattın sonundaki numara, ilk n adet tek sayının toplamıdır. Bu toplam n² formülü ile bulunur.
3
13. hattın son numarası 13'ün karesidir. 13. hattın ilk numarası ise 12. hattın son numarasının 1 fazlasıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir örüntüde, çift sayılarla artış olsaydı (2, 4, 6...) n. satırın son terimi n(n+1) olurdu. Bu farkı inceleyen sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Orta Terim Yöntemi: 13. hatta 2(13)-1 = 25 terim vardır. Bu aritmetik bir dizi oluşturur. Ortadaki terim (İlk+Son)/2'dir. Ancak doğrudan formül (n² ve (n-1)²+1) kullanmak daha hızlıdır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Dizileri ve Örüntüler

Bu konudan daha fazla soru