Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİşlem
Gerçel sayılar kümesi üzerinde Δ\Delta işlemi, her x,yx, y gerçel sayısı için
xΔy=2x+2y+xy+kx \Delta y = 2x + 2y + xy + k
biçiminde tanımlanıyor. Bu işlemin etkisiz (birim) elemanı olduğuna göre, kk sabiti kaçtır?
  1. A
    -2
  2. B
    -1
  3. C
    0
  4. D
    1
  5. 2Cevap

Cevap

k değeri 2 olarak bulunur.
İşlemin etkisiz elemanı ee olsun. Tanım gereği her xx için xΔe=xx \Delta e = x sağlanmalıdır. Verilen kuralı yerine yazdığımızda 2x+2e+xe+k=x2x + 2e + xe + k = x elde edilir. Bu ifadeyi xx parantezine alırsak x(2+e)+(2e+k)=xx(2+e) + (2e+k) = x olur. Eşitliğin her xx değeri için sağlanması adına, xx'in katsayısı 1'e (2+e=12+e=1), sabit terim ise 0'a (2e+k=02e+k=0) eşit olmalıdır. İlk denklemden e=−1e=-1 bulunur. İkinci denklemde yerine yazıldığında 2(−1)+k=0⇒k=22(-1) + k = 0 \Rightarrow k=2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Etkisiz eleman tanımını uygula.
xΔe=xx \Delta e = x olmalıdır.
Bir işlemin etkisiz elemanı (ee), işleme girdiği diğer elemanı değiştirmemelidir.
2
Verilen işlem kuralını tanım denklemine yerleştir.
2x+2e+xe+k=x2x + 2e + xe + k = x
İşlem kuralında yy yerine ee yazılarak eşitlik kurulur.
3
Eşitliği xx parantezine alarak düzenle.
x(2+e)+(2e+k)=1⋅x+0x(2 + e) + (2e + k) = 1 \cdot x + 0
Polinom eşitliği ilkesine göre xx'li terimlerin katsayıları ve sabit terimler karşılıklı olarak eşit olmalıdır.
4
xx'in katsayısından ee'yi bul.
2+e=1⇒e=−12 + e = 1 \Rightarrow e = -1
Eşitliğin her iki tarafındaki xx'in katsayısı aynı olmalıdır.
5
Bulunan ee değerini sabit terim eşitliğinde yerine yazarak kk'yi bul.
2e+k=0⇒2(−1)+k=0⇒−2+k=0⇒k=22e + k = 0 \Rightarrow 2(-1) + k = 0 \Rightarrow -2 + k = 0 \Rightarrow k = 2
Sabit kısımların toplamı, sağ taraftaki sabit (0) değerine eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

İşlemde Etkisiz Eleman
Bu soruyu puanla

Konular

İşlem

Bu konudan daha fazla soru