Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKombinasyonun Geometrik Uygulamaları

Matematik öğretmeni Zeynep Hanım, tahtaya herhangi ikisi çakışık olmayan nn tane farklı üçgen ve mm tane farklı çember çizmiştir. Bu geometrik şekillerin oluşturabileceği kesişim noktalarının sayısının alabileceği en büyük değer 102 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, tahtadaki üçgen (nn) ve çember (mm) sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. n=3,  m=4n=3, \; m=4Cevap
  2. B
    n=4,  m=3n=4, \; m=3
  3. C
    n=2,  m=6n=2, \; m=6
  4. D
    n=5,  m=2n=5, \; m=2
  5. E
    n=3,  m=3n=3, \; m=3

Cevap

Üçgen sayısı 3 ve çember sayısı 4'tür (n=3,m=4n=3, m=4).
Soruda verilen şekillerin maksimum kesişim sayılarını bulmak için üç farklı etkileşim türü incelenmelidir: Üçgen-Üçgen, Çember-Çember ve Üçgen-Çember.

1. Üçgen-Üçgen Kesişimi: İki üçgen en fazla 6 noktada kesişir. nn üçgen arasından (n2)\binom{n}{2} çift seçilir. Katkısı: 6⋅(n2)6 \cdot \binom{n}{2}.
2. Çember-Çember Kesişimi: İki çember en fazla 2 noktada kesişir. mm çember arasından (m2)\binom{m}{2} çift seçilir. Katkısı: 2⋅(m2)2 \cdot \binom{m}{2}.
3. Üçgen-Çember Kesişimi: Bir üçgenin 3 kenarı, bir çemberi en çok 3×2=63 \times 2 = 6 noktada keser. nn üçgen ve mm çember için n⋅mn \cdot m çift vardır. Katkısı: 6nm6nm.

Bu formülde n=3n=3 ve m=4m=4 değerleri yerine konulduğunda:
6⋅(32)+2⋅(42)+6⋅(3⋅4)=6(3)+2(6)+72=18+12+72=1026 \cdot \binom{3}{2} + 2 \cdot \binom{4}{2} + 6 \cdot (3 \cdot 4) = 6(3) + 2(6) + 72 = 18 + 12 + 72 = 102
eşitliği sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Farklı şekil çiftlerinin birbirleriyle oluşturabileceği en çok kesişim noktası sayılarını belirle.
İki üçgen en çok 6, iki çember en çok 2, bir üçgen ile bir çember en çok 6 noktada kesişir.
Maksimum kesişim sayıları şekillerin kenar ve yay özelliklerine göre belirlenir.
2
Toplam kesişim sayısını veren formülü nn (üçgen) ve mm (çember) cinsinden oluştur.
Toplam = (n2)⋅6+(m2)⋅2+(n⋅m)⋅6=102\binom{n}{2} \cdot 6 + \binom{m}{2} \cdot 2 + (n \cdot m) \cdot 6 = 102
Kendi türündeki çiftler ve türler arası çiftler ayrı ayrı toplanır.
3
Verilen şıklardaki değerleri formülde yerine koyarak denklemi sağlayan çifti bul.
n=3,m=4n=3, m=4 için: 3⋅6+6⋅2+12⋅6=18+12+72=1023 \cdot 6 + 6 \cdot 2 + 12 \cdot 6 = 18 + 12 + 72 = 102.
Denklemi sağlayan tek tam sayı ikilisi bu seçenektir.

Anahtar Kavram

Geometrik Şekillerin Kesişim Sayıları

İpuçları

1
İki farklı geometrik şeklin en çok kaç noktada kesişebileceğini ayrı ayrı düşünün: İki üçgen, iki çember ve bir üçgen ile bir çember.
2
Kombinasyon formüllerini kullanarak toplam kesişim sayısını nn ve mm cinsinden bir denklem olarak yazın. İki üçgen en çok 6, iki çember en çok 2 noktada kesişir.
3
Denkleminiz şu yapıda olmalıdır: 6⋅(n2)+2⋅(m2)+6⋅n⋅m=1026 \cdot \binom{n}{2} + 2 \cdot \binom{m}{2} + 6 \cdot n \cdot m = 102. Şıkları bu denklemde deneyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, nn tane doğru ve mm tane çemberin kesişim sayısı problemlerini çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Şıklardan giderek deneme-yanılma yapmak yerine, nn ve mm değerlerinin küçük olduğunu fark edip n⋅mn \cdot m çarpımının (üçgen-çember kesişimi) ana belirleyici olduğunu görebilirsiniz. 6nm6nm terimi 102'ye yaklaşmalıdır. n=3,m=4n=3, m=4 için 7272 olur, kalan 3030 fark diğer kesişimlerden gelir.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyonun Geometrik Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru