Examkin

Soru

Zorluk: ZorKombinasyonun Geometrik Uygulamaları

Düzlemde bulunan ve herhangi ikisi çakışık olmayan 4 farklı çember ile 5 farklı doğru en çok kaç noktada kesişebilir?

  1. A
    42
  2. B
    50
  3. C
    52
  4. 62Cevap
  5. E
    72

Cevap

Düzlemdeki 4 çember ve 5 doğru en çok 62 noktada kesişir.
Doğru cevap, tüm olası kesişim senaryolarının maksimum değerlerinin toplamıdır: Çemberlerin kendi aralarında 12, doğruların kendi aralarında 10 ve çember-doğru etkileşiminden 40 nokta olmak üzere toplam 62 nokta bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi üç farklı kesişim türüne ayır: Çember-Çember, Doğru-Doğru ve Çember-Doğru.
Analiz edilecek 3 durum belirlendi.
Farklı geometrik şekillerin birbirleriyle kesişme sayıları farklıdır ve ayrı ayrı hesaplanıp toplanmalıdır.
2
Çemberlerin kendi aralarındaki maksimum kesişim sayısını hesapla. 4 çemberden seçilen her ikili (C(4,2)C(4,2)) en çok 2 noktada kesişir.
C(4,2)×2=6×2=12C(4,2) \times 2 = 6 \times 2 = 12 nokta.
İki çember en çok 2 noktada kesişir.
3
Doğruların kendi aralarındaki maksimum kesişim sayısını hesapla. 5 doğrudan seçilen her ikili (C(5,2)C(5,2)) en çok 1 noktada kesişir.
C(5,2)×1=10×1=10C(5,2) \times 1 = 10 \times 1 = 10 nokta.
İki doğru en çok 1 noktada kesişir.
4
Çemberler ile doğruların kesişim sayısını hesapla. Her bir doğru (5 adet) her bir çemberi (4 adet) en çok 2 noktada kesebilir.
4×5×2=404 \times 5 \times 2 = 40 nokta.
Bir doğru ve bir çember en çok 2 noktada kesişir.
5
Tüm kesişim noktalarını topla.
12+10+40=6212 + 10 + 40 = 62 nokta.
Toplam kesişim sayısı tüm alt durumların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Farklı geometrik şekil gruplarının maksimum kesişim noktaları hesaplanirken; grup içi kesişimler (kombinasyon ile) ve gruplar arası kesişimler (çarpım ile) ayrı ayrı değerlendirilmeli ve her çift için maksimum kesişim katsayısı (1 veya 2) ile çarpılmalıdır.

İpuçları

1
Şekillerin kesişimlerini üç ayrı grupta inceleyin: Çember-Çember, Doğru-Doğru ve Çember-Doğru.
2
Maksimum kesişim için, herhangi iki çemberin 2 noktada, herhangi iki doğrunun 1 noktada ve bir çember ile bir doğrunun 2 noktada kesiştiğini varsayın.
3
Çemberlerin kendi aralarındaki kesişimi için C(4,2)×2C(4,2) \times 2, doğruların kendi aralarındaki kesişimi için C(5,2)×1C(5,2) \times 1 ve çember-doğru kesişimleri için 4×5×24 \times 5 \times 2 işlemlerini yapıp toplayın.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyonun Geometrik Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru