Kombinasyonun Geometrik Uygulamaları

29 soru

Matematik öğretmeni Zeynep Hanım, tahtaya herhangi ikisi çakışık olmayan $n$ tane farklı üçgen ve $m$ tane farklı çember çizmiştir. Bu geometrik şekillerin oluşturabileceği kesişim noktalarının sayısının alabileceği en büyük değer 102 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, tahtadaki üçgen ( $n$ ) ve çember ( $m$ ) sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

n=3, \; m=4

n=4, \; m=3

n=2, \; m=6

n=5, \; m=2

n=3, \; m=3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $n=3, \; m=4$

Cevap

Üçgen sayısı 3 ve çember sayısı 4'tür (

n=3, m=4

Soruda verilen şekillerin maksimum kesişim sayılarını bulmak için üç farklı etkileşim türü incelenmelidir: Üçgen-Üçgen, Çember-Çember ve Üçgen-Çember.

1. Üçgen-Üçgen Kesişimi: İki üçgen en fazla 6 noktada kesişir.

n

üçgen arasından

\binom{n}{2}

çift seçilir. Katkısı:

6 \cdot \binom{n}{2}

.
2. Çember-Çember Kesişimi: İki çember en fazla 2 noktada kesişir.

m

çember arasından

\binom{m}{2}

çift seçilir. Katkısı:

2 \cdot \binom{m}{2}

.
3. Üçgen-Çember Kesişimi: Bir üçgenin 3 kenarı, bir çemberi en çok

3 \times 2 = 6

noktada keser.

n

üçgen ve

m

çember için

n \cdot m

çift vardır. Katkısı:

6nm

.

Bu formülde

n=3

m=4

değerleri yerine konulduğunda:

6 \cdot \binom{3}{2} + 2 \cdot \binom{4}{2} + 6 \cdot (3 \cdot 4) = 6(3) + 2(6) + 72 = 18 + 12 + 72 = 102

eşitliği sağlanır.

Adım Adım Çözüm

Farklı şekil çiftlerinin birbirleriyle oluşturabileceği en çok kesişim noktası sayılarını belirle.

İki üçgen en çok 6, iki çember en çok 2, bir üçgen ile bir çember en çok 6 noktada kesişir.

Maksimum kesişim sayıları şekillerin kenar ve yay özelliklerine göre belirlenir.

Toplam kesişim sayısını veren formülü

n

(üçgen) ve

m

(çember) cinsinden oluştur.

Toplam =

\binom{n}{2} \cdot 6 + \binom{m}{2} \cdot 2 + (n \cdot m) \cdot 6 = 102

Kendi türündeki çiftler ve türler arası çiftler ayrı ayrı toplanır.

Verilen şıklardaki değerleri formülde yerine koyarak denklemi sağlayan çifti bul.

n=3, m=4

için:

3 \cdot 6 + 6 \cdot 2 + 12 \cdot 6 = 18 + 12 + 72 = 102

Denklemi sağlayan tek tam sayı ikilisi bu seçenektir.

Anahtar Kavram

Geometrik Şekillerin Kesişim Sayıları

İpuçları

İki farklı geometrik şeklin en çok kaç noktada kesişebileceğini ayrı ayrı düşünün: İki üçgen, iki çember ve bir üçgen ile bir çember.

Kombinasyon formüllerini kullanarak toplam kesişim sayısını

n

m

cinsinden bir denklem olarak yazın. İki üçgen en çok 6, iki çember en çok 2 noktada kesişir.

Denkleminiz şu yapıda olmalıdır:

6 \cdot \binom{n}{2} + 2 \cdot \binom{m}{2} + 6 \cdot n \cdot m = 102

. Şıkları bu denklemde deneyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla,

n

tane doğru ve

m

tane çemberin kesişim sayısı problemlerini çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Şıklardan giderek deneme-yanılma yapmak yerine,

n

m

değerlerinin küçük olduğunu fark edip

n \cdot m

çarpımının (üçgen-çember kesişimi) ana belirleyici olduğunu görebilirsiniz.

6nm

terimi 102'ye yaklaşmalıdır.

n=3, m=4

için

72

olur, kalan

30

fark diğer kesişimlerden gelir.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 2Soru →

Bir düzgün sekizgenin köşeleri üzerindeki noktalar kullanılarak, köşeleri bu noktalardan seçilen kaç farklı üçgen çizilebilir?

168

336

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 56

Cevap

Düzgün sekizgenin köşeleri kullanılarak 56 farklı üçgen çizilebilir.

Üçgen oluşturmak için doğrusal olmayan 3 nokta gereklidir. Düzgün bir sekizgenin 8 köşesi vardır ve bu köşelerin herhangi üçü aynı doğru üzerinde değildir. Bu nedenle 8 noktadan yapılacak her 3'lü seçim bir üçgen belirtir. Hesaplama: C(8,3) = (8x7x6)/(3x2x1) = 56 bulunur.

Adım Adım Çözüm

Problemin türünü belirle

Bu bir seçme problemidir (kombinasyon). Sıralama önemli değildir.

Üçgen oluşturmak için 3 noktaya ihtiyaç vardır ve üçgenin köşelerinin sırası (ABC veya BCA) üçgeni değiştirmez.

Koşulları kontrol et

n=8 (toplam nokta), r=3 (seçilecek nokta). Herhangi üçü doğrusal değil.

Düzgün çokgenin köşelerinin herhangi üçü asla aynı doğru üzerinde (doğrusal) değildir, bu nedenle tüm üçlü seçimler üçgen oluşturur.

Kombinasyon formülünü uygula

C(8,3) = (8 . 7 . 6) / (3 . 2 . 1) = 336 / 6 = 56

C(n,r) = n! / ((n-r)! . r!) formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

n tane noktadan, herhangi üçü doğrusal değilse C(n,3) tane üçgen oluşturulabilir.

İpuçları

Üçgen oluşturmak için kaç köşe seçmeniz gerektiğini düşünün.

Sıralama önemli mi? ABC üçgeni ile BAC üçgeni aynı mıdır? Aynıysa kombinasyon kullanmalısınız.

Toplam 8 nokta var ve bunlardan 3 tanesini seçmelisiniz: C(8,3) işlemini yapın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, aynı sekizgenin köşeleri kullanılarak kaç farklı dörtgen çizilebileceğini hesaplayınız.

Tahmini Süre:45s

Soru 3Soru →

Analitik bir düzlemde, birbirinden farklı yarıçaplara sahip 3 çember ve bu çemberlerden farklı 5 doğru bulunmaktadır. Bu geometrik şekillerin oluşturabileceği kesişim noktası sayısı en çok kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 46

Cevap

En çok kesişim noktası sayısını bulmak için üç farklı durumu ayrı ayrı hesaplayıp toplamamız gerekir: 1) Doğruların kendi arasındaki kesişimi: 5 doğru C(5,2)=10 noktada kesişir. 2) Çemberlerin kendi arasındaki kesişimi: 3 çember C(3,2)×2 = 3×2=6 noktada kesişir. 3) Doğrular ile çemberlerin kesişimi: 1 doğru 1 çemberi en çok 2 noktada kestiğinden, 5 doğru ve 3 çember 5×3×2=30 noktada kesişir. Toplam: 10 + 6 + 30 = 46 noktadır.

Adım Adım Çözüm

Doğruların kendi aralarındaki maksimum kesişim sayısını hesapla.

C(5, 2) = 10 nokta

n tane doğru en çok C(n, 2) noktada kesişir.

Çemberlerin kendi aralarındaki maksimum kesişim sayısını hesapla.

C(3, 2) × 2 = 3 × 2 = 6 nokta

İki çember en çok 2 noktada kesişir. m tane çember için C(m, 2) × 2 formülü kullanılır.

Doğrular ile çemberlerin birbirleriyle olan maksimum kesişim sayısını hesapla.

5 × 3 × 2 = 30 nokta

Her bir doğru, her bir çemberi en çok 2 noktada keser. (Doğru Sayısı) × (Çember Sayısı) × 2.

Bulunan tüm kesişim noktası sayılarını topla.

10 + 6 + 30 = 46 nokta

Toplam maksimum kesişim sayısı, tüm olası ikili kombinasyonların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Farklı türdeki geometrik şekillerin (doğru ve çember) maksimum kesişim noktaları hesaplanırken; aynı türden şekillerin kendi aralarındaki kesişimleri ve farklı türden şekillerin birbirleriyle olan kesişimleri ayrı ayrı toplanmalıdır.

İpuçları

Kesişim noktalarını üç grupta inceleyin: Sadece doğruların kesişimi, sadece çemberlerin kesişimi ve doğrular ile çemberlerin kesişimi.

n tane doğru en çok C(n,2) noktada, m tane çember en çok C(m,2)×2 noktada kesişir.

Bir doğru bir çemberi en çok 2 noktada keser. Dolayısıyla 5 doğru ve 3 çemberin birbirleriyle kesişimi 5 × 3 × 2 işlemini gerektirir.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, '4 üçgen ve 3 doğru en çok kaç noktada kesişir?' sorusunu çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Tüm şekiller çember olsaydı C(8,2)×2 = 56 kesişim olurdu. Ancak 5 tanesi doğru olduğu için, doğruların kendi aralarındaki kesişimi 2 yerine 1 sayılır (kayıp: C(5,2)×1 = 10). Ayrıca, doğrular birbirini çemberler gibi 2 noktada değil, 1 noktada keser. Bu yöntem karmaşık olabilir, parçalı toplama yöntemi daha güvenilirdir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 4Soru →

Bir çember üzerinde birbirinden farklı $6$ nokta işaretlenmiştir. Buna göre, köşeleri bu noktalardan herhangi üçü olan en fazla kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

120

15

18

20

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $20$

Cevap

İşaretlenen

6

noktadan herhangi üçü seçilerek

20

farklı üçgen oluşturulabilir.

20

sonucu, çember üzerindeki herhangi üçü doğrusal olmayan

6

noktadan

3

tanesinin kaç farklı şekilde seçilebileceğini gösteren

C(6, 3)

kombinasyonu ile hesaplanır. Çember üzerindeki noktaların herhangi üçü doğrusal olamayacağı için seçilen her üçlü bir üçgen oluşturur.

Adım Adım Çözüm

Toplam nokta sayısını ve üçgen için gereken köşe sayısını belirleyin.

Nokta sayısı

n = 6

, üçgen için gereken nokta sayısı

r = 3

Bir üçgen oluşturabilmek için doğrusal olmayan üç noktaya ihtiyaç vardır.

Kombinasyon formülünü uygulayın.

C(6, 3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1}

Noktaların seçilme sırası önemli olmadığı için kombinasyon kullanılır.

İşlemi tamamlayarak sonucu bulun.

C(6, 3) = \frac{120}{6} = 20

Pay ve payda sadeleştirilerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan

n

nokta yardımıyla

C(n, 3)

kadar farklı üçgen oluşturulabilir. Çember üzerindeki tüm noktalar bu şartı sağlar.

İpuçları

Bir üçgen oluşturabilmek için düzlemde doğrusal olmayan kaç noktaya ihtiyacınız olduğunu düşünün.

Çember üzerindeki noktaların herhangi üçü doğrusal değildir, bu nedenle seçeceğiniz her üç nokta bir üçgen oluşturur. Seçim sırası önemli olmadığı için kombinasyon kullanmalısınız.

6

nokta arasından

3

tanesini seçmek için

C(6, 3)

formülünü uygulayarak işlemi yapabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Eğer bu noktalar çember yerine birbirine paralel iki doğru üzerinde (örneğin üstte 3, altta 3) olsaydı kaç üçgen oluşurdu?

Tahmini Süre:45s

Soru 5Soru →

Düzlemde bulunan ve herhangi ikisi çakışık olmayan 4 farklı çember ile 5 farklı doğru en çok kaç noktada kesişebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 62

Cevap

Düzlemdeki 4 çember ve 5 doğru en çok 62 noktada kesişir.

Doğru cevap, tüm olası kesişim senaryolarının maksimum değerlerinin toplamıdır: Çemberlerin kendi aralarında 12, doğruların kendi aralarında 10 ve çember-doğru etkileşiminden 40 nokta olmak üzere toplam 62 nokta bulunur.

Adım Adım Çözüm

Problemi üç farklı kesişim türüne ayır: Çember-Çember, Doğru-Doğru ve Çember-Doğru.

Analiz edilecek 3 durum belirlendi.

Farklı geometrik şekillerin birbirleriyle kesişme sayıları farklıdır ve ayrı ayrı hesaplanıp toplanmalıdır.

Çemberlerin kendi aralarındaki maksimum kesişim sayısını hesapla. 4 çemberden seçilen her ikili (

C(4,2)

) en çok 2 noktada kesişir.

C(4,2) \times 2 = 6 \times 2 = 12

nokta.

İki çember en çok 2 noktada kesişir.

Doğruların kendi aralarındaki maksimum kesişim sayısını hesapla. 5 doğrudan seçilen her ikili (

C(5,2)

) en çok 1 noktada kesişir.

C(5,2) \times 1 = 10 \times 1 = 10

nokta.

İki doğru en çok 1 noktada kesişir.

Çemberler ile doğruların kesişim sayısını hesapla. Her bir doğru (5 adet) her bir çemberi (4 adet) en çok 2 noktada kesebilir.

4 \times 5 \times 2 = 40

nokta.

Bir doğru ve bir çember en çok 2 noktada kesişir.

Tüm kesişim noktalarını topla.

12 + 10 + 40 = 62

nokta.

Toplam kesişim sayısı tüm alt durumların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Farklı geometrik şekil gruplarının maksimum kesişim noktaları hesaplanirken; grup içi kesişimler (kombinasyon ile) ve gruplar arası kesişimler (çarpım ile) ayrı ayrı değerlendirilmeli ve her çift için maksimum kesişim katsayısı (1 veya 2) ile çarpılmalıdır.

İpuçları

Şekillerin kesişimlerini üç ayrı grupta inceleyin: Çember-Çember, Doğru-Doğru ve Çember-Doğru.

Maksimum kesişim için, herhangi iki çemberin 2 noktada, herhangi iki doğrunun 1 noktada ve bir çember ile bir doğrunun 2 noktada kesiştiğini varsayın.

Çemberlerin kendi aralarındaki kesişimi için

C(4,2) \times 2

, doğruların kendi aralarındaki kesişimi için

C(5,2) \times 1

ve çember-doğru kesişimleri için

4 \times 5 \times 2

işlemlerini yapıp toplayın.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 6Soru →

Bir düzlemde birbirine paralel olan $d_1$ ve $d_2$ doğruları ile bu doğruları kesen bir $d_3$ doğrusu verilmiştir.

Bu doğrular üzerinde;
* $d_1$ doğrusu üzerinde 5 farklı nokta,
* $d_2$ doğrusu üzerinde 4 farklı nokta,
* $d_3$ doğrusu üzerinde, $d_1$ ve $d_2$ doğruları ile olan kesişim noktaları da dahil olmak üzere 6 farklı nokta

işaretlenmiştir. Buna göre, köşeleri bu işaretlenen noktalardan herhangi üçü olan en fazla kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

242

252

266

272

286

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 252

Cevap

İşaretlenen noktalarla oluşturulabilecek toplam üçgen sayısı 252'dir.

Çözüm için öncelikle düzlemdeki toplam farklı nokta sayısı bulunmalıdır.

d_1

d_2

paralel olup

d_3

bunları kestiğinden iki adet kesişim noktası ortaktır. Toplam

5 + 4 + 6 - 2 = 13

nokta vardır. Bu 13 noktadan rastgele seçilen her 3 nokta bir üçgen oluşturma potansiyeline sahiptir (

\binom{13}{3} = 286

). Ancak, aynı doğru üzerinde bulunan noktalar üçgen oluşturamaz.

d_1

üzerindeki 5 noktadan 10,

d_2

üzerindeki 4 noktadan 4 ve

d_3

üzerindeki 6 noktadan 20 farklı doğrusal üçlü seçilebilir. Tüm durumlardan bu

10 + 4 + 20 = 34

doğrusal durum çıkarıldığında

286 - 34 = 252

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Toplam farklı nokta sayısını belirleyelim.

13 nokta

d_1

üzerinde 5,

d_2

üzerinde 4 nokta vardır.

d_3

doğrusu bu iki doğruyu kestiği için kesişim noktaları her iki doğru için de sayılmıştır. Toplam nokta sayısı:

5 + 4 + (6 - 2) = 13

veya

n(d_1 \cup d_2 \cup d_3) = 5 + 4 + 6 - 1 - 1 = 13

olur.

13 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü grupları (kombinasyonları) hesaplayalım.

286 durum

Herhangi üç noktanın birleşimiyle oluşabilecek tüm durumlar:

\binom{13}{3} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286

Aynı doğru üzerinde bulunduğu için üçgen oluşturmayan (doğrusal) durumları belirleyelim.

34 durum

d_1

üzerindeki 5 noktadan seçilen 3'lüler:

\binom{5}{3} = 10

d_2

üzerindeki 4 noktadan seçilen 3'lüler:

\binom{4}{3} = 4

d_3

üzerindeki 6 noktadan seçilen 3'lüler:

\binom{6}{3} = 20

. Toplam doğrusal durum:

10 + 4 + 20 = 34

Tüm durumlardan üçgen oluşturmayan durumları çıkararak sonucu bulalım.

252

Üçgen sayısı = Tüm seçimler - Doğrusal seçimler =

286 - 34 = 252

Anahtar Kavram

Kombinasyon yöntemiyle geometrik şekil sayma problemlerinde, tüm seçimlerden aynı doğru üzerinde bulunan (doğrusal) nokta kümelerinin oluşturduğu geçersiz durumlar çıkarılır.

Soru 7Soru →

Bir $ABCD$ dikdörtgeninin kenarları üzerinde, köşeler de dahil olmak üzere toplam $14$ nokta işaretlenmiştir. Bu noktaların dağılımı ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* $AB$ kenarı üzerinde, $A$ ve $B$ köşeleri hariç $3$ nokta,
* $BC$ kenarı üzerinde, $B$ ve $C$ köşeleri hariç $2$ nokta,
* $CD$ kenarı üzerinde, $C$ ve $D$ köşeleri hariç $4$ nokta,
* $DA$ kenarı üzerinde, $D$ ve $A$ köşeleri hariç $1$ nokta

bulunmaktadır. Buna göre, köşeleri bu noktalardan herhangi üçü olan en fazla kaç farklı üçgen çizilebilir?

329

330

344

359

364

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 329

Cevap

Dikdörtgen üzerindeki noktalardan 329 farklı üçgen oluşturulabilir.

Üçgen oluşturabilmek için seçilen 3 noktanın doğrusal olmaması gerekir. Dikdörtgen üzerindeki 14 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü gruplardan (364), dikdörtgenin kenarları üzerinde doğrusal olarak dizilmiş olan noktaların kendi aralarındaki 3'lü seçimleri (toplam 35 durum) çıkarıldığında geriye kalan 329 durum geçerli üçgenleri verir.

Adım Adım Çözüm

Toplam nokta sayısını ve kenar üzerindeki nokta sayılarını belirle.

Toplam nokta: 14. Kenarlardaki noktalar (köşeler dahil): AB kenarı 5, BC kenarı 4, CD kenarı 6, DA kenarı 3 nokta.

Üçgen oluşturmak için seçilecek toplam nesne havuzunu ve doğrusal (geçersiz) grupları belirlemek gerekir.

Tüm 3'lü seçimlerin sayısını hesapla.

\binom{14}{3} = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 364

Herhangi bir sınırlama olmasaydı oluşabilecek maksimum üçgen sayısını bulmak için kombinasyon formülü uygulanır.

Kenarlar üzerindeki doğrusal noktaların üçgen oluşturamadığı durumları hesapla.

AB:

\binom{5}{3}=10

, BC:

\binom{4}{3}=4

, CD:

\binom{6}{3}=20

, DA:

\binom{3}{3}=1

. Toplam geçersiz durum:

10+4+20+1=35

Aynı doğru üzerinde bulunan 3 nokta üçgen oluşturamaz, sadece doğru parçası oluşturur.

Tüm durumlardan geçersiz durumları çıkar.

364 - 35 = 329

Geometrik olarak mümkün olan toplam üçgen sayısına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Doğrusal olan noktaların (kenar üzerindekiler) kombinasyonlarının tüm durumlardan çıkarılmasıyla toplam üçgen sayısı bulunur.

Soru 8Soru →

Bir düzlemde bulunan 6 farklı doğru ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Bu doğrulardan sadece 2 tanesi birbirine paraleldir.
* Geriye kalan 4 doğru, ne birbirlerine ne de paralel olan doğrulara paraleldir.
* Doğruların herhangi üçü aynı noktada kesişmemektedir.

Buna göre, bu 6 doğru en çok kaç farklı noktada kesişir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Doğruların oluşturabileceği maksimum kesişim sayısı 14'tür.

6 farklı doğrunun oluşturabileceği maksimum kesişim sayısı C(6,2) = 15'tir. Ancak soruda 2 doğrunun birbirine paralel olduğu belirtilmiştir. Paralel doğrular kesişmediği için, bu doğruların kendi aralarında oluşturabileceği C(2,2) = 1 kesişim noktası toplam sayıdan çıkarılmalıdır. Sonuç: 15 - 1 = 14 bulunur.

Adım Adım Çözüm

Tüm durumların hesaplanması

C(6, 2) = 15

Herhangi bir şart olmasaydı, 6 doğru en çok C(6,2) kadar noktada kesişirdi.

Kesişmeyen durumların belirlenmesi

C(2, 2) = 1

Verilen 2 doğru birbirine paralel olduğu için asla kesişmezler. Bu 1 olası kesişim gerçekleşmez.

Sonucun bulunması

15 - 1 = 14

Tüm olası kesişim sayısından, gerçekleşmeyen (paralel doğrular arasındaki) kesişim sayısı çıkarılır.

Anahtar Kavram

Doğruların Kesişimi

İpuçları

Öncelikle hiçbir paralellik şartı olmasaydı 6 doğrunun kaç noktada kesişeceğini hesaplayın.

n tane doğru en çok C(n, 2) noktada kesişir. Paralel olan doğrular ise asla kesişmez.

C(6, 2) değerinden, paralel olan 2 doğrunun kendi arasındaki olası kesişim sayısını (yani 1'i) çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı pekiştirmek için 'Bir çember üzerindeki 5 nokta ve dışındaki 3 doğru en çok kaç noktada kesişir?' sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Yapılandırmacı yöntem: Paralel olmayan 4 doğru kendi aralarında C(4,2)=6 noktada kesişir. Bu 4 doğrunun her biri, 2 paralel doğruyu da keser (4x2=8 nokta). Paralel doğrular birbiriyle kesişmez (0 nokta). Toplam: 6 + 8 + 0 = 14.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 9Soru →

Bir düzlem üzerinde birbirine paralel olan $d_1$ ve $d_2$ doğruları verilmiştir. $d_1$ doğrusu üzerinde $A, B, C, D$ noktaları, $d_2$ doğrusu üzerinde ise $K, L, M$ noktaları işaretlenmiştir.

Buna göre, köşeleri bu 7 noktadan herhangi üçü olan en fazla kaç farklı üçgen çizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

İşaretlenen 7 nokta ile toplam 30 farklı üçgen oluşturulabilir.

Üçgen oluşturmak için paralel doğrulardan biri üzerinden 1 nokta, diğeri üzerinden 2 nokta seçilmelidir. Üstteki 4 noktadan 1 ve alttaki 3 noktadan 2 nokta seçimi

4 \times 3 = 12

durum; üstten 2 ve alttan 1 nokta seçimi

6 \times 3 = 18

durum üretir. Toplamda 30 üçgen elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Toplam nokta sayısını ve üçgen kuralını belirleme

Toplam 7 nokta (

4 + 3 = 7

) vardır. Üçgen için 3 nokta seçilmelidir.

Üçgenin 3 köşesi vardır ve bu noktaların doğrusal olmaması gerekir.

Birinci durumu hesaplama (1 nokta

d_1

'den, 2 nokta

d_2

'den)

C(4, 1) \times C(3, 2) = 4 \times 3 = 12

Üstteki 4 noktadan biri ve alttaki 3 noktadan ikisi seçilerek üçgen oluşturulabilir.

İkinci durumu hesaplama (2 nokta

d_1

'den, 1 nokta

d_2

'den)

C(4, 2) \times C(3, 1) = 6 \times 3 = 18

Üstteki 4 noktadan ikisi ve alttaki 3 noktadan biri seçilerek üçgen oluşturulabilir.

Durumları toplama

12 + 18 = 30

Farklı olasılıkların toplamı genel sonucu verir.

Anahtar Kavram

Kombinasyonun Geometrik Uygulamaları (Üçgen Sayısı Hesabı)

İpuçları

Üçgen oluşturmak için seçtiğiniz 3 noktanın hepsinin aynı doğru üzerinde olmaması gerektiğini unutmayın.

İki durum vardır: Üstteki doğrudan 1 ve alttakinden 2 nokta seçmek veya üsttekinden 2 ve alttakinden 1 nokta seçmek.

Kombinasyon formülü kullanarak

C(4,1) \times C(3,2) + C(4,2) \times C(3,1)

işlemini yapın.

Daha Fazla Pratik

Noktalardan bazıları bir çember üzerinde olsaydı hesaplamanın nasıl değişeceğini düşünün.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 10Soru →

Bir düzlem üzerinde bulunan bir çemberin üzerinde $5$ farklı nokta, bu çemberi kesmeyen bir $d$ doğrusunun üzerinde ise $4$ farklı nokta işaretlenmiştir. Bu $9$ noktadan herhangi üçü (doğru üzerindeki noktalar hariç) doğrusal değildir. Buna göre, köşeleri bu $9$ noktadan seçilen en fazla kaç farklı üçgen çizilebilir?

84

80

74

70

54

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $80$

Cevap

Seksen farklı üçgen çizilebilir.

Üçgen oluşturabilmek için seçilen

3

noktanın doğrusal olmaması gerekir. Düzlemdeki

9

noktadan seçilebilecek tüm

3

’lü grupların sayısı

C(9,3) = 84

’tür. Ancak

d

doğrusu üzerindeki

4

nokta doğrusal olduğu için bu noktalar kendi aralarında üçgen oluşturamazlar. Bu

4

noktadan seçilen

3

’lü grup sayısı

C(4,3) = 4

’tür. Dolayısıyla, çizilebilecek toplam üçgen sayısı

84 - 4 = 80

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Toplam nokta sayısını ve tüm olası üçlü seçimleri belirleyin.

5

(çember) +

4

(doğru) =

9

nokta. Tüm üçlü seçimler:

C(9,3) = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84

Üçgen oluşturmak için

3

noktaya ihtiyaç vardır; herhangi bir kısıtlama olmasaydı toplam seçim sayısı bu olacaktı.

Doğrusal oldukları için üçgen oluşturamayacak olan nokta gruplarını belirleyin.

Doğru üzerindeki

4

noktadan seçilen

3

nokta üçgen oluşturmaz:

C(4,3) = 4

Aynı doğru üzerindeki noktalar birleştirildiğinde bir kapalı şekil (üçgen) değil, bir doğru parçası oluştururlar.

Tüm durumlardan geçersiz durumları çıkararak sonucu bulun.

84 - 4 = 80

Çember üzerindeki noktaların herhangi üçü doğrusal olmadığı için onlar her zaman üçgen oluşturur, sadece doğru üzerindeki kısıtlamayı çıkarmak yeterlidir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon yöntemiyle üçgen sayma: Toplam durumdan doğrusal olanların (üçgen oluşturmayanların) çıkarılması mantığına dayanır.

İpuçları

Üçgen oluşturmak için doğrusal olmayan

3

nokta seçmeniz gerektiğini hatırlayın.

Önce tüm noktalar serbestmiş gibi kaç farklı

3

’lü seçilebileceğini hesaplayın, sonra kuralı bozanları çıkarın.

Doğru üzerindeki

4

noktadan seçilen herhangi

3

noktanın bir üçgen belirtmediğini (

C(4,3)

) unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Nokta sayılarını değiştirerek veya doğrunun çemberi kesmesi durumunda ne gibi değişiklikler olacağını düşünerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Vaka analizi yöntemiyle de çözülebilir: 1)

3

nokta çemberden:

C(5,3) = 10

. 2)

2

nokta çemberden,

1

nokta doğrudan:

C(5,2) \times C(4,1) = 10 \times 4 = 40

. 3)

1

nokta çemberden,

2

nokta doğrudan:

C(5,1) \times C(4,2) = 5 \times 6 = 30

. Toplam:

10 + 40 + 30 = 80

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 11Soru →

Bir düzlemde bulunan $6$ noktadan $3$ tanesi aynı $d$ doğrusu üzerindedir. Geriye kalan $3$ nokta ise bu doğru üzerinde değildir ve herhangi üçü doğrusal değildir.

Buna göre, köşeleri bu $6$ noktadan herhangi üçü olan en fazla kaç farklı üçgen çizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Köşeleri bu noktalardan seçilen en fazla 19 farklı üçgen oluşturulabilir.

Verilen 6 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısı

C(6, 3) = 20

'dir. Ancak, soruda belirtilen

d

doğrusu üzerindeki 3 nokta doğrusal olduğu için bu noktalardan seçilen tek bir 3'lü grup (

C(3, 3) = 1

) üçgen oluşturmaz. Bu nedenle

20 - 1 = 19

farklı üçgen çizilebilir.

Adım Adım Çözüm

Toplam nokta sayısını ve üçgen oluşturmak için gereken nokta sayısını belirleyin.

n = 6

r = 3

Bir üçgen oluşturmak için düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 3 noktaya ihtiyaç vardır.

Hiçbir sınırlama olmasaydı oluşabilecek tüm üçlü kombinasyonları hesaplayın.

C(6, 3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20

6 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısını bulmak için kombinasyon formülü kullanılır.

Doğrusal olan noktaların oluşturduğu ve üçgen belirtmeyen durumları hesaplayın.

C(3, 3) = 1

Aynı

d

doğrusu üzerinde bulunan 3 nokta, doğrusal oldukları için bir üçgen oluşturamaz.

Toplam durum sayısından üçgen oluşturmayan durumu çıkarın.

20 - 1 = 19

Geometrik olarak mümkün olan gerçek üçgen sayısına ulaşmak için kısıtlamayı genel toplamdan çıkarmak gerekir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon yöntemiyle şekil sayma problemlerinde, tüm seçimlerden doğrusal olan ve şekil oluşturmayan noktaların seçimini çıkarmak temel kuraldır.

İpuçları

Bir üçgen oluşturmak için doğrusal olmayan kaç noktaya ihtiyacınız olduğunu hatırlayın.

6 noktadan yapılabilecek tüm 3'lü seçimleri hesaplayın, sonra kısıtlamayı düşünün.

Aynı doğru üzerindeki 3 noktanın kendi arasında üçgen oluşturamayacağını (

C(3, 3) = 1

) toplam seçimlerden çıkarmayı deneyin.

Daha Fazla Pratik

Nokta sayısını değiştirerek veya ikinci bir paralel doğru ekleyerek soruyu daha karmaşık hale getirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, noktaları gruplandırarak da çözebilirsiniz: (Doğru üzerinden 1 nokta, dışarıdan 2 nokta) + (Doğru üzerinden 2 nokta, dışarıdan 1 nokta) + (Dışarıdaki 3 noktadan 3'ü). Yani:

C(3, 1) \times C(3, 2) + C(3, 2) \times C(3, 1) + C(3, 3) = 3 \times 3 + 3 \times 3 + 1 = 9 + 9 + 1 = 19

Tahmini Süre:45s

Soru 12Soru →

Aşağıdaki şekilde birbirine paralel 6 yatay doğru ile birbirine paralel 5 düşey doğru verilmiştir. Bu doğruların oluşturduğu ızgarada, kenarları belirtilen doğrular üzerinde olan bir birim kare boyalı olarak gösterilmiştir.

Buna göre, şekildeki dikdörtgenlerden kaç tanesi boyalı bölgeyi kapsar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 54

Cevap

Boyalı bölgeyi kapsayan 54 farklı dikdörtgen vardır.

İstenen koşulu sağlayan dikdörtgen sayısı hesaplanırken, boyalı karenin konumuna göre seçim yapılır. Şekilde boyalı kare, yukarıdan aşağıya 3. ve 4. yatay doğrular ile soldan sağa 2. ve 3. düşey doğrular arasında yer almaktadır. Bu kareyi kapsayan bir dikdörtgen oluşturmak için:

1. Üst Kenar Seçimi: Boyalı karenin üst sınırını oluşturan doğru (

d_3

) veya daha yukarısındaki doğrular (

d_1, d_2

) seçilebilir. (3 seçenek)
2. Alt Kenar Seçimi: Boyalı karenin alt sınırını oluşturan doğru (

d_4

) veya daha aşağısındaki doğrular (

d_5, d_6

) seçilebilir. (3 seçenek)
3. Sol Kenar Seçimi: Boyalı karenin sol sınırını oluşturan doğru (

k_2

) veya daha solundaki doğru (

k_1

) seçilebilir. (2 seçenek)
4. Sağ Kenar Seçimi: Boyalı karenin sağ sınırını oluşturan doğru (

k_3

) veya daha sağındaki doğrular (

k_4, k_5

) seçilebilir. (3 seçenek)

Çarpma kuralı gereği toplam dikdörtgen sayısı:

3 \times 3 \times 2 \times 3 = 54

bulunur.

Adım Adım Çözüm

Dikdörtgenin boyalı kareyi kapsaması için gerekli kenar seçim koşullarını belirle.

Dikdörtgenin üst kenarı boyalı karenin üstünde veya hizasında, alt kenarı altında veya hizasında, sol kenarı solunda veya hizasında, sağ kenarı ise sağında veya hizasında olmalıdır.

Bir dikdörtgenin belirli bir bölgeyi içine alabilmesi için sınırlarının o bölgeyi çevrelemesi gerekir.

Yatay doğrular arasından üst ve alt kenar için kaç farklı seçim yapılabileceğini hesapla.

Üst kenar için

d_1, d_2, d_3

olmak üzere 3 seçenek; alt kenar için

d_4, d_5, d_6

olmak üzere 3 seçenek vardır. Toplam yatay kombinasyon:

3 \times 3 = 9

Boyalı kare 3. ve 4. yatay doğrular arasındadır.

Düşey doğrular arasından sol ve sağ kenar için kaç farklı seçim yapılabileceğini hesapla.

Sol kenar için

k_1, k_2

olmak üzere 2 seçenek; sağ kenar için

k_3, k_4, k_5

olmak üzere 3 seçenek vardır. Toplam düşey kombinasyon:

2 \times 3 = 6

Boyalı kare 2. ve 3. düşey doğrular arasındadır.

Bulunan seçenek sayılarını çarpma kuralına göre birleştir.

9 \times 6 = 54

Bağımsız olayların birlikte gerçekleşme sayısı çarpılarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bir dikdörtgenin belirli bir hücreyi kapsaması için, dikdörtgeni oluşturan doğruların o hücrenin sınırlarına göre (üst, alt, sol, sağ) seçilmesi gerekir.

İpuçları

Bir dikdörtgenin boyalı kareyi içine alabilmesi için, dikdörtgenin sınır çizgilerinin boyalı karenin dışında veya sınırında kalması gerekir.

Dikdörtgenin üst kenarını seçmek için boyalı karenin üstündeki çizgileri (kendisi dahil), alt kenarını seçmek için altındaki çizgileri sayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 'Şekildeki dikdörtgenlerden kaç tanesi boyalı kareyi kapsamaz?' sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Tüm dikdörtgenleri hesaplayıp, boyalı kareyi İÇERMEYEN dikdörtgenleri çıkarmak da mümkündür ancak bu soruda o yöntem çok daha uzun sürer.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 13Soru →

Düzlemde bulunan 8 farklı doğru ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

• Doğrulardan 4 tanesi sabit bir A noktasında kesişmektedir.
• Doğrulardan 3 tanesi birbirine paraleldir.
• Geriye kalan 1 doğru ise diğer doğruların tamamını farklı noktalarda kesmektedir ve A noktasından geçmemektedir.

Buna göre, bu doğruların kesişimiyle en çok kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Verilen şartlar altında toplam 36 farklı üçgen oluşturulabilir.

Doğru cevap 36'dır çünkü toplam

C(8,3)=56

ihtimalden üçgen oluşturmayan durumlar (A noktasında kesişenler, 3'ü paralel olanlar ve 2'si paralel olanlar) çıkarıldığında geriye 36 kalır.

Adım Adım Çözüm

Tüm doğruların herhangi bir kısıtlama olmadan oluşturabileceği toplam üçgen sayısını hesapla.

C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56

üçgen.

8 doğrudan rastgele seçilen 3 doğrunun bir üçgen oluşturduğu varsayılır.

Tek bir noktada (A noktası) kesişen 4 doğrunun oluşturduğu geçersiz üçlüleri çıkar.

C(4, 3) = 4

durum çıkarılmalı.

Aynı noktadan geçen 3 doğru bir üçgen değil, bir nokta oluşturur.

Birbirine paralel olan 3 doğrunun kendi aralarında oluşturduğu geçersiz üçlüleri çıkar.

C(3, 3) = 1

durum çıkarılmalı.

3 paralel doğru asla kesişmez ve üçgen oluşturmaz.

2 tanesi paralel gruptan, 1 tanesi diğer doğrulardan seçilen geçersiz durumları çıkar.

C(3, 2) \times C(5, 1) = 3 \times 5 = 15

durum çıkarılmalı.

2 paralel doğru birbiriyle kesişmeyeceği için, üçüncü bir doğru bunları kesse bile kapalı bir bölge (üçgen) oluşmaz.

Tüm sonuçları birleştirerek net üçgen sayısını bul.

56 - 4 - 1 - 15 = 36

üçgen.

Toplam kombinasyon sayısından üçgen oluşturmayan tüm durumlar çıkarılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon ile Üçgen Sayısı Bulma (Tüm Durumlar - Oluşmayan Durumlar)

İpuçları

Toplam üçgen sayısını bulmak için önce tüm doğruların oluşturabileceği üçlü kombinasyon sayısını hesaplayın (

C(8,3)

Üçgen oluşmasını engelleyen durumları toplamdan çıkarın: 3 doğrunun tek noktada kesişmesi veya doğruların paralel olması üçgen oluşumunu engeller.

Unutmayın: Seçilen 3 doğrudan sadece 2 tanesi bile birbirine paralelse, bu doğrular kesişmeyeceği için üçgen oluşamaz. Bu yüzden

C(3,2) \times \text{diğerleri}

durumunu da çıkarmalısınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı pekiştirmek için '5'i bir çember üzerinde, 3'ü bir doğru üzerinde olan noktalarla kaç üçgen çizilebilir?' sorusunu çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Yapıcı Yöntem: Üçgen oluşturacak grupları belirleyip toplayabilirsiniz. 1) Hiç paralel seçilmeyenler (A grubundan ve 'diğer' doğrudan seçimler), 2) Sadece 1 paralel seçilenler. Ancak 'Çıkarma Yöntemi' bu soruda daha pratiktir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 14Soru →

Bir düzlemde bulunan birbirinden farklı 4 çember ile 3 doğrunun birbirleriyle oluşturabileceği kesişim noktası sayısı en çok kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 39

Cevap

En çok 39 kesişim noktası oluşur.

En çok kesişim noktası için üç durum incelenir: 1) Doğruların kendi aralarında kesişimi: 3 doğru C(3,2)=3 noktada kesişir. 2) Çemberlerin kendi aralarında kesişimi: 4 çember C(4,2)=6 çift oluşturur, her çift 2 noktada kesiştiğinden 6x2=12 nokta oluşur. 3) Doğrularla çemberlerin kesişimi: Her bir doğru (3 tane) her bir çemberi (4 tane) 2 noktada kestiğinden 3x4x2=24 nokta oluşur. Toplam: 3+12+24 = 39 noktadır.

Adım Adım Çözüm

Kesişim türlerini belirle: Doğru-Doğru, Çember-Çember, Doğru-Çember.

3 farklı etkileşim türü hesaplanmalıdır.

Maksimum kesişim sayısı için her şekil grubunun kendi içinde ve diğer grupla kesişimleri ayrı ayrı toplanır.

Doğruların kendi aralarındaki kesişim sayısını hesapla (3 doğru).

C(3, 2) = 3 nokta.

Herhangi iki doğru en çok 1 noktada kesişir.

Çemberlerin kendi aralarındaki kesişim sayısını hesapla (4 çember).

C(4, 2) × 2 = 6 × 2 = 12 nokta.

Herhangi iki çember en çok 2 noktada kesişir.

Doğrular ile çemberlerin kesişim sayısını hesapla (3 doğru, 4 çember).

3 × 4 × 2 = 24 nokta.

Bir doğru bir çemberi en çok 2 noktada keser.

Tüm kesişim noktalarını topla.

3 + 12 + 24 = 39.

Toplam maksimum nokta sayısı.

Anahtar Kavram

Farklı geometrik şekillerin (doğru, çember) maksimum kesişim noktaları hesaplanirken her çiftin kesişme kuralı (1 nokta veya 2 nokta) ayrı ayrı uygulanır.

İpuçları

Şekilleri gruplara ayırın: Doğru-Doğru, Çember-Çember ve Doğru-Çember kesişimlerini ayrı ayrı düşünün.

Daha Fazla Pratik

5 doğru ve 3 üçgenin en çok kaç noktada kesişebileceğini soran bir soru çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 15Soru →

Bir $ABC$ üçgeninin kenarları üzerinde, köşeler de dahil olmak üzere; $[AB]$ kenarında 5, $[BC]$ kenarında 6 ve $[AC]$ kenarında 4 farklı nokta işaretlenmiştir. Buna göre, köşeleri bu noktalardan seçilen kaç farklı üçgen çizilebilir?

186

190

206

210

220

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 186

Cevap

186

Toplam 12 nokta vardır. Tüm 3'lü seçimlerden (

220

), aynı kenar üzerinde bulunan ve üçgen oluşturmayan 3'lü seçimler (

10+20+4=34

) çıkarıldığında geriye

186

üçgen kalır.

Adım Adım Çözüm

Toplam nokta sayısını belirle.

Kenarlardaki nokta sayıları toplanıp ortak köşeler (3 köşe) bir kez sayılacak şekilde düzenlenir:

5 + 6 + 4 - 3 = 12

nokta.

Köşeler her iki kenar için de sayıldığından, toplamdan mükerrer sayılan 3 köşe çıkarılmalıdır.

Tüm üçlü kombinasyonların sayısını hesapla.

\binom{12}{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220

Hiçbir şart olmasaydı 12 noktadan seçilecek her 3 nokta bir üçgen oluştururdu.

Üçgen oluşturmayan (doğrusal) durumları her kenar için ayrı ayrı hesapla.

[AB]

için

\binom{5}{3}=10

[BC]

için

\binom{6}{3}=20

[AC]

için

\binom{4}{3}=4

Aynı doğru üzerindeki noktalardan seçilen 3 nokta üçgen oluşturmaz, bu durumlar toplamdan düşülmelidir.

Toplam durumdan üçgen oluşturmayan durumları çıkar.

220 - (10 + 20 + 4) = 220 - 34 = 186

Geçersiz durumların (doğrusal üçlülerin) elenmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon ile Üçgen Sayısı Bulma (Doğrusal Noktaları Çıkarma Yöntemi)

İpuçları

Önce üçgenin toplam kaç noktaya sahip olduğunu hesaplayın. Köşelerin ortak olduğunu unutmayın.

Tüm noktalar rastgele dağılmış olsaydı kaç üçgen oluşurdu? Sonra hangi durumlarda üçgen oluşmayacağını düşünün.

Toplam kombinasyon sayısından (

\binom{12}{3}

), her bir kenar üzerindeki noktalarla yapılabilecek üçlü seçimleri (

\binom{5}{3}, \binom{6}{3}, \binom{4}{3}

) çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, noktaların bir kısmı çember üzerinde bir kısmı doğru üzerinde olacak şekilde çözün.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 16Soru →

Bir $ABC$ üçgeninin kenarları üzerinde toplam $9$ farklı nokta işaretlenmiştir. Bu noktaların $3$ 'ü üçgenin köşeleri olup; $AB$ kenarı üzerinde (köşeler hariç) $2$ nokta, $BC$ kenarı üzerinde (köşeler hariç) $3$ nokta ve $AC$ kenarı üzerinde (köşeler hariç) $1$ nokta bulunmaktadır. Buna göre, köşeleri bu $9$ noktadan seçilen kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 69

Cevap

Köşeleri bu noktalar olan toplam 69 farklı üçgen oluşturulabilir.

Doğru cevap 69'dur çünkü 9 noktadan seçilebilecek tüm 84 üçlü gruptan,

AB

kenarındaki 4 noktanın oluşturduğu 4 grup,

BC

kenarındaki 5 noktanın oluşturduğu 10 grup ve

AC

kenarındaki 3 noktanın oluşturduğu 1 grup (toplam 15 grup) doğrusal oldukları için üçgen oluşturmaz.

84 - 15 = 69

işlemiyle sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Toplam nokta sayısını belirle ve tüm üçlü seçimleri hesapla.

\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84

Herhangi üçü doğrusal olmayan 9 noktadan oluşturulabilecek maksimum üçgen sayısını bulmak için kombinasyon kullanılır.

Her bir kenar üzerindeki toplam nokta sayısını (köşeler dahil) belirle.

AB

üzerinde

2+2=4

nokta,

BC

üzerinde

3+2=5

nokta,

AC

üzerinde

1+2=3

nokta vardır.

Kenarlar üzerindeki doğrusal noktalar üçgen oluşturmaz; bu yüzden her kenardaki nokta sayısı ayrı ayrı tespit edilmelidir.

Kenarlar üzerindeki doğrusal noktaların üçlü seçimlerini hesapla.

AB

için:

\binom{4}{3} = 4

BC

için:

\binom{5}{3} = 10

AC

için:

\binom{3}{3} = 1

Aynı doğru üzerindeki 3 nokta birleştirildiğinde bir üçgen değil, bir doğru parçası oluşturur.

Tüm durumlardan üçgen oluşturmayan durumları çıkar.

84 - (4 + 10 + 1) = 84 - 15 = 69

Geometrik olarak mümkün olan gerçek üçgen sayısına ulaşmak için doğrusal durumlar genel toplamdan çıkarılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon kullanılarak geometrik şekil oluşturma problemlerinde, genel seçim sayısından (doğrusallık gibi) kısıtlamalara uymayan durumlar çıkarılır.

İpuçları

Toplam nokta sayısından yola çıkarak tüm olasılıkları hesaplayın ve üçgen oluşturmayan durumları belirleyin.

Bir üçgenin kenarı üzerindeki tüm noktalar (köşeler dahil) doğrusaldır. Doğrusal noktalar kendi aralarında üçgen oluşturamaz.

\binom{9}{3}

toplam durumdur.

AB

üzerindeki 4 noktadan,

BC

üzerindeki 5 noktadan ve

AC

üzerindeki 3 noktadan yapılan üçlü seçimleri bu toplamdan çıkarmalısınız.

Daha Fazla Pratik

Bir çember üzerindeki noktalarla bir doğru üzerindeki noktaların karıştırıldığı senaryoları inceleyerek kombinasyon mantığını pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 17Soru →

Bir düzlem üzerinde bulunan 9 farklı doğru ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Doğrulardan 4 tanesi birbirine paraleldir.
* Farklı 3 doğru ise sabit bir A noktasında kesişmektedir.
* Geriye kalan 2 doğru, ne birbirine ne de diğer doğrulara paraleldir ve A noktasından geçmemektedir.

Buna göre, bu doğrularla oluşturulabilecek üçgen sayısı en çok kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 49

Cevap

Doğrularla oluşturulabilecek en çok üçgen sayısı 49'dur.

Toplam 9 doğrudan rastgele 3'ü seçildiğinde C(9,3)=84 durum oluşur. Ancak üçgen oluşabilmesi için doğruların aynı noktada kesişmemesi ve birbirine paralel olmaması gerekir. 1) 4 paralel doğrudan 3'ü seçilemez (C(4,3)=4). 2) 4 paralel doğrudan 2'si seçilirse, üçüncü doğru ne olursa olsun üçgen oluşmaz (C(4,2)×5=30). 3) A noktasında kesişen 3 doğru seçilirse üçgen oluşmaz (C(3,3)=1). Toplam geçerli sayı: 84 - 4 - 30 - 1 = 49'dur.

Adım Adım Çözüm

Tüm doğruların oluşturabileceği toplam üçgen kombinasyonunu hesapla.

C(9,3) = (9×8×7)/(3×2×1) = 84.

Herhangi üç doğru bir üçgen oluşturabilir varsayımıyla başlanır.

Üç kenarı da paralel olan doğruların oluşturduğu (oluşturamadığı) durumları çıkar.

4 paralel doğrudan seçilen 3 doğru üçgen oluşturmaz: C(4,3) = 4 durum çıkarılır.

Üçgenin kenarları birbirine paralel olamaz.

İki kenarı paralel olan doğruların oluşturduğu (oluşturamadığı) durumları çıkar.

4 paralel doğrudan 2'si ve diğer 5 doğrudan 1'i seçilirse üçgen oluşmaz: C(4,2) × C(5,1) = 6 × 5 = 30 durum çıkarılır.

Bir üçgenin iki kenarı birbirine paralel olamaz (yamuk veya açık şekil oluşur).

Aynı noktada kesişen (noktadaş) doğruların oluşturduğu (oluşturamadığı) durumları çıkar.

A noktasında kesişen 3 doğru üçgen oluşturmaz: C(3,3) = 1 durum çıkarılır.

Üç doğrunun tek noktada kesişmesi üçgen değil, nokta oluşturur.

Kalan geçerli üçgen sayısını hesapla.

84 - 4 - 30 - 1 = 49.

Toplamdan geçersiz durumlar çıkarılarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Kombinasyon ile Üçgen Sayısı Bulma

İpuçları

Bir üçgen oluşturmak için 3 doğruya ihtiyaç vardır, ancak bu doğruların birbirine paralel olmaması ve tek bir noktada kesişmemesi gerekir.

Önce hiçbir şart yokmuş gibi 9 doğrunun 3'lü kombinasyonlarını hesaplayın (C(9,3)). Sonra üçgen oluşturmayan durumları (3'ü paralel, 2'si paralel, 3'ü noktadaş) toplamdan çıkarın.

Unutmayın: Bir üçgenin iki kenarı paralel olamaz. Bu yüzden 4 paralel doğrudan herhangi 2'sini seçtiğinizde, üçüncü doğru ne olursa olsun üçgen oluşmaz.

Alternatif Yöntem

Yapıcı Yöntem: Üçgenleri doğrudan oluşturarak sayabilirsiniz. 1) Paralel olmayan (O) gruptan 2 doğru, Paralel (P) gruptan 1 doğru seçimi: (C(5,2)-1)×4 = 36. 2) O gruptan 3 doğru seçimi: C(5,3)-1 = 9. Toplam 36+9=45? Dikkat: A noktasından geçmeyen paralellerle oluşan ek durumlar karmaşıktır, çıkarma yöntemi daha güvenlidir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 18Soru →

Şekildeki yarım çember üzerinde toplam 9 nokta verilmiştir. Bu noktalardan 4 tanesi yarım çemberin çapı üzerinde, diğer 5 tanesi ise çember yayı üzerindedir.

Buna göre, köşeleri bu 9 noktadan seçilen herhangi üçü olan kaç farklı üçgen çizilebilir?

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

80 farklı üçgen çizilebilir.

Doğru cevap, toplam 9 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısından (84), üçgen oluşturmayan doğrusal 4 noktanın oluşturduğu 3'lü grupların sayısının (4) çıkarılmasıyla bulunur (84 - 4 = 80).

Adım Adım Çözüm

Tüm noktalardan yapılabilecek toplam üçlü seçim sayısını hesapla.

C(9, 3) = (9 × 8 × 7) / (3 × 2 × 1) = 84

Herhangi 3 nokta seçimi potansiyel bir üçgendir, ancak doğrusal olanlar elenmelidir.

Doğrusal olan (çap üzerindeki) noktalardan yapılan üçlü seçim sayısını hesapla.

C(4, 3) = 4

Çap üzerindeki 4 nokta doğrusaldır ve bu noktalardan seçilen 3 nokta bir üçgen oluşturmaz, sadece bir doğru parçası oluşturur.

Toplam seçim sayısından üçgen oluşturmayan (doğrusal) seçimleri çıkar.

84 - 4 = 80

Geometrik kısıtlama (doğrusallık) nedeniyle geçersiz durumlar toplamdan düşülür.

Anahtar Kavram

Üçgen oluşturma şartı için, seçilen 3 noktanın doğrusal olmaması gerekir. Toplam kombinasyondan doğrusal olanların kombinasyonu çıkarılır.

İpuçları

Bir üçgen oluşturmak için 3 noktaya ihtiyacınız vardır. Öncelikle hiç şart yokmuş gibi 9 noktadan kaç farklı 3'lü seçebileceğinizi bulun.

Aynı doğru üzerinde bulunan (doğrusal) 3 nokta birleştirildiğinde üçgen oluşmaz. Çap üzerindeki noktaları kontrol edin.

Toplam kombinasyon sayısı C(9,3)'tür. Çap üzerindeki 4 nokta doğrusaldır, bu yüzden C(4,3) kadar durum üçgen oluşturmaz. Bunları toplamdan çıkarın.

Alternatif Yöntem

Durumları toplayarak da çözebilirsiniz: (1 Nokta Çap + 2 Nokta Yay) + (2 Nokta Çap + 1 Nokta Yay) + (3 Nokta Yay). Yani: C(4,1)*C(5,2) + C(4,2)*C(5,1) + C(5,3) = 40 + 30 + 10 = 80.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 19Soru →

Bir düzlemde yer alan bir çember ile bir doğru, iki farklı noktada kesişmektedir. Bu iki kesişim noktası haricinde, çember üzerinde 4, doğru üzerinde ise 3 farklı nokta daha işaretlenmiştir.

Buna göre, köşeleri bu 9 noktadan seçilen en çok kaç farklı üçgen çizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 74

Cevap

Verilen noktalar kullanılarak toplam 74 farklı üçgen çizilebilir.

Toplam 9 nokta vardır. Tüm üçlü seçimler C(9,3) = 84'tür. Ancak aynı doğru üzerinde bulunan noktalar üçgen oluşturamaz. Doğru üzerinde 2'si kesişim, 3'ü harici olmak üzere toplam 5 nokta vardır. Bu 5 noktadan seçilen üçlüler (C(5,3)=10) üçgen oluşturmaz. Çember üzerindeki noktalar ise kendi aralarında doğrusal değildir. Bu nedenle doğru cevap 84 - 10 = 74 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Toplam nokta sayısını ve konumlarını belirle.

2 (kesişim) + 4 (çemberde) + 3 (doğruda) = Toplam 9 nokta.

Kombinasyon hesabı için toplam eleman sayısına (n) ihtiyaç vardır.

Hiçbir koşul yokmuş gibi tüm üçlü kombinasyonları hesapla.

C(9,3) = (9×8×7)/(3×2×1) = 84.

Önce tüm olası üçlü seçimleri bulup, geçersiz olanları çıkarmak daha pratiktir.

Üçgen oluşturmayan (doğrusal) nokta gruarını tespit et.

Doğru üzerindeki noktalar: 2 kesişim + 3 harici = 5 nokta doğrusaldır.

Aynı doğru üzerinde bulunan 3 nokta birleşerek üçgen oluşturamaz.

Doğrusal noktalardan seçilen üçlüleri toplamdan çıkar.

C(5,3) = 10. Sonuç: 84 - 10 = 74.

Geçersiz durumlar (doğrusal üçlüler) tüm durumlardan çıkarılarak geçerli üçgen sayısı bulunur.

Anahtar Kavram

Doğrusal olmayan 3 nokta bir üçgen belirtir. n tane noktadan C(n,3) kadar üçlü seçilir; ancak doğrusal olan k tane nokta varsa C(k,3) kadarı üçgen oluşturmaz ve çıkarılır.

İpuçları

Toplam nokta sayısını hesaplarken kesişim noktalarını, çember üzerindeki noktaları ve doğru üzerindeki noktaları toplayın.

Önce tüm noktalardan seçilebilecek tüm üçlü kombinasyonları hesaplayın (C(n,3)).

Bulduğunuz tüm kombinasyonlardan, aynı doğru üzerinde bulunan (doğrusal) noktaların oluşturduğu kombinasyonları çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, birbirine paralel iki doğru üzerindeki noktalarla çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Doğrudan geçerli üçgenleri toplayarak: (Çemberden 2 nokta + Doğrudan 1 nokta) + (Çemberden 1 nokta + Doğrudan 2 nokta) + (Çemberden 3 nokta). Not: Kesişim noktaları her iki kümeye de dahil edilebileceği için bu yöntem daha karmaşık olabilir; küme ayrımına dikkat edilmelidir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 20Soru →

Aşağıda verilen ABC üçgeninin kenarları üzerinde, köşeler de dahil olmak üzere belirli sayıda nokta işaretlenmiştir:

* AB kenarı üzerinde 4 nokta,
* AC kenarı üzerinde 5 nokta,
* BC kenarı üzerinde 6 nokta

bulunmaktadır.

Buna göre, köşeleri bu işaretli noktalardan seçilen kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

186

196

217

220

421

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 186

Cevap

Köşeleri verilen noktalardan seçilen 186 farklı üçgen oluşturulabilir.

Doğru cevap, toplam 12 noktadan yapılabilecek tüm 3'lü seçimlerden (220), aynı doğru üzerinde bulunan ve üçgen oluşturmayan 3'lü seçimlerin (34) çıkarılmasıyla elde edilen 186 sonucudur.

Adım Adım Çözüm

Toplam nokta sayısını belirle.

Kenarlardaki nokta sayıları toplanırken köşe noktaları (A, B, C) ikişer kez sayılmıştır. Kümelerdeki birleşim mantığıyla: Toplam Nokta = (4 + 5 + 6) - 3 (ortak köşeler) = 12 nokta vardır.

Üçgenin köşeleri her iki komşu kenara da aittir, bu yüzden mükerrer sayımı düzeltmek gerekir.

Tüm üçlü seçimlerin sayısını hesapla (Örnek Uzay).

\binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220

farklı seçim yapılabilir.

12 noktadan rastgele seçilen herhangi 3 nokta potansiyel bir üçgen adayıdır.

Üçgen oluşturmayan (doğrusal) durumları tespit et ve çıkar.

Aynı doğru üzerindeki noktalar üçgen oluşturmaz:
- AB kenarı (4 nokta):

\binom{4}{3} = 4

- AC kenarı (5 nokta):

\binom{5}{3} = 10

- BC kenarı (6 nokta):

\binom{6}{3} = 20

Toplam çıkarılacak:

4 + 10 + 20 = 34

Bir üçgen oluşması için seçilen 3 noktanın doğrusal olmaması gerekir.

Sonucu bul.

220 - 34 = 186

Tüm durumlardan istenmeyen durumlar çıkarılarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Kombinasyon ile Üçgen Sayısı Bulma

İpuçları

Önce şekildeki toplam farklı nokta sayısını bulunuz. Köşelerin (A, B, C) her iki kenar için de sayıldığına dikkat ediniz.

Toplam nokta sayısı 12'dir. Tüm 3'lü kombinasyonları hesaplayınız ve bunlardan üçgen oluşturmayan durumları çıkarınız.

Aynı doğru üzerinde bulunan 3 nokta üçgen oluşturmaz. AB üzerindeki 4, AC üzerindeki 5 ve BC üzerindeki 6 noktanın kendi içindeki 3'lü kombinasyonlarını toplamdan çıkarınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, köşelerden birinin mutlaka A noktası olması şartıyla çözmeyi deneyiniz.

Alternatif Yöntem

Üçgen oluşturmak için 3 nokta gerekir. Bu noktalar: (1 nokta AB'den, 1 nokta BC'den, 1 nokta AC'den) VEYA (2 nokta bir kenardan, 1 nokta diğer kenardan) şeklinde seçilebilir. Ancak bu yöntem daha uzun süreceği için 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' yöntemi tercih edilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Sayfa 1 / 2Sonraki

Kombinasyonun Geometrik Uygulamaları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik