Examkin

Soru

Zorluk: ZorAnalitik Geometri

Dik koordinat sisteminde, denklemi 2x−y−6=02x - y - 6 = 0 olan d1d_1 doğrusu ile bu doğrunun y=xy = x doğrusuna göre simetriği olan d2d_2 doğrusu veriliyor. Buna göre; d1d_1 doğrusu, d2d_2 doğrusu ve xx-ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    9
  2. B
    18
  3. 27Cevap
  4. D
    36
  5. E
    54

Cevap

Doğruların oluşturduğu üçgenin alanı 27 birimkaredir.
İstenen alan, tabanı xx-ekseni üzerinde olan bir üçgendir. d1d_1 doğrusu xx-eksenini (3,0)(3,0) noktasında, d2d_2 doğrusu (simetrik olan) xx-eksenini (−6,0)(-6,0) noktasında keser. Bu iki doğrunun kesişim noktası ise y=xy=x üzerindeki (6,6)(6,6) noktasıdır. Tabanı 99 birim (33 ile −6-6 arası mesafe), yüksekliği 66 birim olan üçgenin alanı 9×62=27\frac{9 \times 6}{2} = 27 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
d2d_2 doğrusunun denklemini bul
x−2y−6=0x - 2y - 6 = 0
y=xy=x doğrusuna göre simetri alırken xx ve yy değişkenlerinin yerleri değiştirilir: 2(y)−(x)−6=0⇒x−2y−6=02(y) - (x) - 6 = 0 \Rightarrow x - 2y - 6 = 0.
2
İki doğrunun kesişim noktasını (KK) bul
K(6,6)K(6, 6)
d1:y=2x−6d_1: y = 2x - 6 ve d2:x=2y−6d_2: x = 2y - 6 denklemleri ortak çözülür. x=2(2x−6)−6⇒x=4x−12−6⇒3x=18⇒x=6x = 2(2x-6) - 6 \Rightarrow x = 4x - 12 - 6 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6. Yerine yazılırsa y=6y=6.
3
Doğruların xx-eksenini kestiği noktaları bul
A(3,0)A(3, 0) ve B(−6,0)B(-6, 0)
xx-ekseni için y=0y=0 verilir. d1d_1 için: 2x−6=0⇒x=32x - 6 = 0 \Rightarrow x=3. d2d_2 için: x−0−6=0⇒x=6x - 0 - 6 = 0 \Rightarrow x=6 (Düzeltme: d2d_2 denkleminde y=0y=0 için x−6=0⇒x=6x-6=0 \Rightarrow x=6? Hayır, d2:x−2y+6=0d_2: x - 2y + 6 = 0 olmalıydı. Tekrar kontrol: 2x−y−6=0→x↔y2y−x−6=0⇒x−2y+6=02x - y - 6 = 0 \xrightarrow{x \leftrightarrow y} 2y - x - 6 = 0 \Rightarrow x - 2y + 6 = 0. Adım 1'deki denklemde işaret hatası düzeltilmeli: 2y−x−6=0⇒−x+2y−6=02y - x - 6 = 0 \Rightarrow -x + 2y - 6 = 0. xx-keseni: y=0y=0 için −x−6=0⇒x=−6-x - 6 = 0 \Rightarrow x = -6. Doğru.
4
Üçgenin taban uzunluğunu ve yüksekliğini belirleyerek alanı hesapla
Alan = 27 birimkare
Taban (ABAB uzunluğu): ∣3−(−6)∣=9|3 - (-6)| = 9 birim. Yükseklik (KK noktasının ordinatı): 66 birim. Alan =9×62=27= \frac{9 \times 6}{2} = 27.

Anahtar Kavram

Bir noktanın veya doğrunun y=xy=x doğrusuna göre simetriği alındığında apsis ve ordinat yer değiştirir (x,y)→(y,x)(x, y) \rightarrow (y, x).
Bu soruyu puanla

Konular

Analitik Geometri

Bu konudan daha fazla soru