Examkin

Soru

Zorluk: ZorAnalitik Geometri

Dik koordinat düzleminde, denklemi 5x+12y+60=05x + 12y + 60 = 0 olan doğru ile eksenler arasında kalan üçgensel bölgenin iç teğet çemberinin merkezinin koordinatları toplamı kaçtır?

  1. A
    -6
  2. -4Cevap
  3. C
    -2
  4. D
    2
  5. E
    4

Cevap

İç teğet çemberinin merkezi (−2,−2)(-2, -2) olup koordinatları toplamı -4'tür.
Doğru, eksenleri (−12,0)(-12, 0) ve (0,−5)(0, -5) noktalarında keser. Bu, 3. bölgede dik kenarları 5 ve 12 birim olan bir dik üçgen oluşturur. Hipotenüs 13 birimdir. İç teğet çemberinin yarıçapı rr, Alan=u⋅rAlan = u \cdot r formülüyle bulunur. Alan 30, yarı çevre (uu) 15 olduğundan r=2r=2'dir. Eksenlere teğet ve 3. bölgede olan çemberin merkezi (−2,−2)(-2, -2) olur. Koordinatlar toplamı -4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları belirle.
x=0x=0 için y=−5y=-5, y=0y=0 için x=−12x=-12. Üçgenin köşeleri O(0,0)O(0,0), A(−12,0)A(-12,0) ve B(0,−5)B(0,-5) olur.
Üçgensel bölgenin sınırlarını ve bulunduğu bölgeyi (3. bölge) tespit etmek için gereklidir.
2
Oluşan dik üçgenin kenar uzunluklarını ve alanını hesapla.
Dik kenarlar 55 ve 1212 birim, hipotenüs (Pisagor teoreminden) 52+122=13\sqrt{5^2+12^2}=13 birimdir. Alan = 5⋅122=30\frac{5 \cdot 12}{2} = 30 br².
İç teğet çemberinin yarıçapını bulmak için üçgenin alanına ve çevre uzunluğuna ihtiyaç vardır.
3
İç teğet çemberinin yarıçapını (rr) hesapla (Alan=u⋅rAlan = u \cdot r).
Yarı çevre u=5+12+132=15u = \frac{5+12+13}{2} = 15. 30=15⋅r⇒r=230 = 15 \cdot r \Rightarrow r = 2.
Merkez koordinatlarını belirlemek için yarıçap uzunluğu bulunmalıdır.
4
Merkez koordinatlarını bölgeye göre belirle ve topla.
Üçgen 3. bölgede olduğundan ve çember eksenlere teğet olduğundan merkez M(−r,−r)M(-r, -r) yani M(−2,−2)M(-2, -2) olur. Toplam: (−2)+(−2)=−4(-2) + (-2) = -4.
Çember eksenlere teğet olduğu için merkezin eksenlere uzaklığı rr kadardır, ancak işaret bölgeye göre belirlenir.

Anahtar Kavram

İç teğet çemberinin yarıçapı (rr), üçgenin alanı (AA) ve yarı çevresi (uu) arasındaki A=u⋅rA = u \cdot r bağıntısı ile bulunur. Ayrıca eksenlere teğet çemberin merkezi, bölgeye göre (r,r)(r,r), (−r,r)(-r,r), (−r,−r)(-r,-r) veya (r,−r)(r,-r) biçimindedir.

İpuçları

1
Önce doğrunun eksenleri kestiği noktaları bularak üçgeni çizin ve hangi bölgede olduğunu belirleyin.
2
Oluşan dik üçgenin kenar uzunluklarını (5-12-13 üçgeni) kullanarak alanını ve çevresini hesaplayın.
3
İç teğet çemberinin yarıçapı r=AlanYarıC\cevrer = \frac{Alan}{Yarı Çevre} formülüyle bulunur. Merkez koordinatları 3. bölgede (−r,−r)(-r, -r) olacaktır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu farklı bir bölgede (örneğin 2. bölge) veya ağırlık merkezi koordinatlarını sorarak oluşturabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Dik üçgenlerde iç teğet çember yarıçapı r=a+b−c2r = \frac{a + b - c}{2} formülüyle pratik olarak bulunabilir. Burada a=5a=5, b=12b=12, c=13c=13 için r=5+12−132=2r = \frac{5+12-13}{2} = 2 bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Analitik Geometri

Bu konudan daha fazla soru