Examkin

Soru

Zorluk: ZorOran ve Orantı

Bir baba, cebindeki bir miktar parayı yaşları 2, 3 ve 4 olan üç çocuğuna yaşları ile ters orantılı olarak paylaştırıyor. Eğer bu parayı çocuklarına yaşları ile doğru orantılı olarak paylaştırsaydı, en büyük çocuk ilk duruma göre 100 TL daha fazla para alacaktı.

Buna göre, babanın paylaştırdığı toplam para kaç TL'dir?

  1. A
    351
  2. B
    450
  3. 468Cevap
  4. D
    585
  5. E
    900

Cevap

Babanın paylaştırdığı toplam para 468 TL'dir.
Toplam para miktarı sabit olduğundan, ters orantıdaki toplam pay (13 birim) ile doğru orantıdaki toplam payın (9 birim) en küçük ortak katı olan 117 üzerinden gidilir. En büyük çocuk ters orantıda paranın 3/13'ünü (27m27m), doğru orantıda ise 4/9'unu (52m52m) alır. Aradaki fark olan 25m=10025m = 100 TL eşitliğinden toplam para 468 TL bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ters orantılı paylaşım durumunu (1. Durum) matematiksel olarak modelle.
Çocukların payları yaşlarının tersiyle orantılıdır: k/2,k/3,k/4k/2, k/3, k/4. Paydaları eşitlemek için (EKOK 12) paylar sırasıyla 6x,4x,3x6x, 4x, 3x olur. Toplam pay 13x13x olur.
Ters orantıda A⋅2=B⋅3=C⋅4=kA \cdot 2 = B \cdot 3 = C \cdot 4 = k eşitliği kullanılır.
2
Doğru orantılı paylaşım durumunu (2. Durum) matematiksel olarak modelle.
Çocukların payları yaşlarıyla doğru orantılıdır: 2y,3y,4y2y, 3y, 4y. Toplam pay 9y9y olur.
Doğru orantıda A/2=B/3=C/4=yA/2 = B/3 = C/4 = y eşitliği kullanılır.
3
Her iki durumda dağıtılan toplam paranın aynı olduğunu kullanarak ortak bir kat belirle.
Toplam para hem 13x13x hem de 9y9y'ye eşit olmalıdır. EKOK(13, 9) = 117 olduğundan, Toplam Para = 117m117m diyelim.
Para miktarı değişmemiştir, sadece dağıtım şekli değişmiştir. Bu nedenle toplam miktar her iki orantı toplamının katı olmalıdır.
4
En büyük çocuğun (4 yaşında) her iki durumda alacağı payı hesapla ve denklemi kur.
1. Durumda (Ters): En büyük çocuğun payı 3/133/13 oranındadır. 117m⋅(3/13)=27m117m \cdot (3/13) = 27m.
2. Durumda (Doğru): En büyük çocuğun payı 4/94/9 oranındadır. 117m⋅(4/9)=52m117m \cdot (4/9) = 52m.
Fark: 52m−27m=25m=10052m - 27m = 25m = 100.
Soruda verilen '100 TL daha fazla' bilgisi bu iki değer arasındaki farktır.
5
Bilinmeyeni bul ve toplam parayı hesapla.
25m=10025m = 100 ise m=4m = 4 bulunur. Toplam Para = 117m=117⋅4=468117m = 117 \cdot 4 = 468 TL.
Bulunan birim değeri toplam para ifadesinde yerine koyarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Hem doğru hem ters orantı içeren problemlerde, toplam miktarın sabitliği üzerinden giderek ortak kat (EKOK) kullanmak çözümü kolaylaştırır.

İpuçları

1
Her iki durumda da dağıtılan toplam paranın değişmediğine dikkat ediniz.
2
Yaşları 2, 3 ve 4 olan çocuklar için ters orantılı payları k/2, k/3, k/4; doğru orantılı payları ise 2m, 3m, 4m şeklinde yazabilirsiniz.
3
Kesirlerle uğraşmamak için toplam parayı, paydaların ve katsayıların toplamının ortak katı olan 117'nin katı (117x) olarak seçmeyi deneyiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı pekiştirmek için 'işçi problemleri' kapsamında, çalışma hızları ile iş bitirme sürelerinin ters orantılı olduğu sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Toplam paraya P diyelim. En büyük çocuğun ilk payı P * (1/4) / (1/2+1/3+1/4) = P * 3/13'tür. İkinci payı P * 4 / (2+3+4) = P * 4/9'dur. Denklem: P(4/9 - 3/13) = 100.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Oran ve Orantı

Bu konudan daha fazla soru