Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇokgenler

A, B, C, D... noktaları bir düzgün çokgenin ardışık köşeleridir. Bu çokgenin iç bölgesinde bir K noktası alınarak, [AB] kenarı üzerinde ABK eşkenar üçgeni oluşturuluyor.

m(KCB^)=40∘m(\widehat{KCB}) = 40^{\circ} olduğuna göre, bu düzgün çokgen kaç kenarlıdır?

  1. A
    12
  2. B
    15
  3. C
    16
  4. 18Cevap
  5. E
    20

Cevap

Çokgenin 18 kenarı vardır
Soruda verilen ABK eşkenar üçgeni sayesinde ∣BK∣|BK| uzunluğunun düzgün çokgenin bir kenarı olan ∣AB∣|AB|'ye eşit olduğu bulunur. Düzgün çokgenin tüm kenarları eşit olduğundan ∣AB∣=∣BC∣|AB|=|BC|'dir. Bu iki bilgi birleştirildiğinde ∣BK∣=∣BC∣|BK|=|BC| olduğu, dolayısıyla KBC üçgeninin ikizkenar olduğu ortaya çıkar. Taban açıları 40 derece olan bu ikizkenar üçgenin tepe açısı 100 derecedir. Düzgün çokgenin bir iç açısı, eşkenar üçgenin 60 derecelik açısı ile bu 100 derecenin toplamı olan 160 derecedir. İç açısı 160 derece olan düzgün çokgenin dış açısı 20 derecedir ve kenar sayısı 360/20=18360/20=18 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ABK üçgeni eşkenar olduğundan kenar uzunluklarını ve açılarını belirle.
∣AB∣=∣BK∣=∣AK∣|AB| = |BK| = |AK| ve m(ABK^)=60∘m(\widehat{ABK}) = 60^{\circ}
Eşkenar üçgenin tüm kenarları eşit ve iç açıları 60 derecedir.
2
Düzgün çokgenin kenar eşitliğini kullanarak KBC üçgeninin türünü belirle.
∣AB∣=∣BC∣|AB| = |BC| (düzgün çokgen) ve ∣AB∣=∣BK∣|AB| = |BK| olduğu için ∣BK∣=∣BC∣|BK| = |BC| olur. KBC ikizkenar üçgendir.
Düzgün çokgenin tüm kenar uzunlukları eşittir; geçişme özelliği ile üçgenin ikizkenar olduğu görülür.
3
KBC üçgeninin iç açılarını hesapla.
Taban açıları m(KCB^)=m(BKC^)=40∘m(\widehat{KCB}) = m(\widehat{BKC}) = 40^{\circ}. Tepe açısı m(KBC^)=180∘−(40∘+40∘)=100∘m(\widehat{KBC}) = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 40^{\circ}) = 100^{\circ}.
İkizkenar üçgenin taban açıları eşittir ve üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
4
Düzgün çokgenin bir iç açısını (m(ABC^)m(\widehat{ABC})) bul.
m(ABC^)=m(ABK^)+m(KBC^)=60∘+100∘=160∘m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ABK}) + m(\widehat{KBC}) = 60^{\circ} + 100^{\circ} = 160^{\circ}
B köşesindeki tam iç açı, eşkenar üçgenin açısı ile yanındaki açının toplamıdır.
5
Dış açıdan yola çıkarak kenar sayısını hesapla.
Dış açı = 180∘−160∘=20∘180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ}. Kenar sayısı n=36020=18n = \frac{360}{20} = 18.
Düzgün çokgenin kenar sayısı, 360 derecenin bir dış açıya bölünmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde kenar eşitliği ve yardımcı üçgenler (eşkenar/ikizkenar) kullanılarak açı takibi yapılması.

İpuçları

1
Eşkenar üçgenin kenar uzunlukları ile düzgün çokgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiye dikkat edin.
2
∣BK∣|BK| uzunluğu ile ∣BC∣|BC| uzunluğu birbirine eşittir. Bu durum KBC üçgeninin nasıl bir üçgen olduğunu gösterir?
3
KBC ikizkenar üçgendir. Tepe açısını (m(KBC^)m(\widehat{KBC})) bulup, eşkenar üçgenin açısıyla toplayarak düzgün çokgenin bir iç açısını elde edebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

İçine kare yerleştirilen düzgün çokgen sorularını inceleyiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çokgenler

Bu konudan daha fazla soru