Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİşlem
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı Δ\Delta işlemi, her (x,y)(x, y) ve (a,b)(a, b) ikilisi için
(x,y)Δ(a,b)=(x⋅a,  y+b+3)(x, y) \Delta (a, b) = (x \cdot a, \; y + b + 3)
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, bu işleme göre tersi (14,−5)\left(\frac{1}{4}, -5\right) olan eleman aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (4,−1)(4, -1)Cevap
  2. B
    (4,2)(4, 2)
  3. C
    (4,5)(4, 5)
  4. D
    (4,−5)(4, -5)
  5. E
    (14,−1)\left(\frac{1}{4}, -1\right)

Cevap

İşleme göre tersi verilen eleman (4,−1)(4, -1) ikilisidir.
Verilen işlemde öncelikle birim eleman bulunur. (x,y)Δ(e1,e2)=(x,y)(x, y) \Delta (e_1, e_2) = (x, y) eşitliğinden birim eleman e=(1,−3)e=(1, -3) olarak elde edilir. Tersi (1/4,−5)(1/4, -5) olan elemana (k,m)(k, m) dersek, bu iki elemanın işlemi birim elemanı vermelidir. Kurulan (k,m)Δ(1/4,−5)=(1,−3)(k, m) \Delta (1/4, -5) = (1, -3) denkleminden k=4k=4 ve m=−1m=-1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İşlemin Birim (Etkisiz) Elemanını (e1,e2)(e_1, e_2) bulalım.
e=(1,−3)e = (1, -3)
Birim eleman tanımı gereği (x,y)Δ(e1,e2)=(x,y)(x, y) \Delta (e_1, e_2) = (x, y) olmalıdır.
1. Bileşen: x⋅e1=x⇒e1=1x \cdot e_1 = x \Rightarrow e_1 = 1.
2. Bileşen: y+e2+3=y⇒e2+3=0⇒e2=−3y + e_2 + 3 = y \Rightarrow e_2 + 3 = 0 \Rightarrow e_2 = -3.
2
Aranan elemana (k,m)(k, m) diyerek, ters eleman tanımını uygulayalım.
Denklem: (k,m)Δ(1/4,−5)=(1,−3)(k, m) \Delta (1/4, -5) = (1, -3)
Bir eleman ile tersinin işleme girmesi sonucu birim eleman elde edilir. Aranan eleman (k,m)(k, m) ve tersi (1/4,−5)(1/4, -5) ise, bu ikisinin işlemi (1,−3)(1, -3) olmalıdır.
3
Birinci ve ikinci bileşenler için denklemleri çözelim.
k=4k=4 ve m=−1m=-1
1. Bileşen: k⋅14=1⇒k=4k \cdot \frac{1}{4} = 1 \Rightarrow k = 4.
2. Bileşen: m+(−5)+3=−3⇒m−2=−3⇒m=−1m + (-5) + 3 = -3 \Rightarrow m - 2 = -3 \Rightarrow m = -1.
Sonuç: (4,−1)(4, -1).

Anahtar Kavram

İşlem konusunda birim eleman ve ters eleman bulma yöntemi.

İpuçları

1
Önce işlemin birim (etkisiz) elemanını bulmalısın. Birim eleman ee için (x,y)Δe=(x,y)(x, y) \Delta e = (x, y) olmalıdır.
2
Birim elemanı (e1,e2)(e_1, e_2) olarak düşünürsen: x⋅e1=xx \cdot e_1 = x ve y+e2+3=yy + e_2 + 3 = y denklemlerini çözmelisin.
3
Birim eleman (1,−3)(1, -3) tür. Şimdi aradığın eleman (k,m)(k, m) ile verilen ters elemanı (1/4,−5)(1/4, -5) işleme sokup sonucu (1,−3)(1, -3)'e eşitle.

Daha Fazla Pratik

Değişme özelliği olmayan bir işlemde soldan ve sağdan ters eleman kavramlarını inceleyen bir soru çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

İşlem

Bu konudan daha fazla soru