Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Dizileri ve Örüntüler

Ardışık pozitif tam sayılar, belirli bir kurala göre aşağıdaki gibi satırlar halinde piramit şeklinde dizilmiştir:

1. satır: 1
2. satır: 2, 3, 4
3. satır: 5, 6, 7, 8, 9
4. satır: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

Bu örüntüye göre, 12. satırın tam ortasında bulunan sayı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    73
  2. B
    122
  3. 133Cevap
  4. D
    144
  5. E
    145

Cevap

12. satırın tam ortasında bulunan sayı 133'tür.
Verilen piramitte her satırdaki sayı adedi 1, 3, 5, 7... şeklinde artan tek sayılardır. İlk nn tek sayının toplamı n2n^2 olduğundan, nn. satırın son sayısı her zaman n2n^2'dir.

12. satır için:
- Bir önceki satırın (11. satır) son sayısı: 112=12111^2 = 121'dir.
- 12. satırın ilk sayısı: 121+1=122121 + 1 = 122'dir.
- 12. satırın son sayısı: 122=14412^2 = 144'tür.
- Bu satırdaki sayılar 122'den 144'e kadar olan ardışık sayılardır.

Tam ortadaki sayı, ilk ve son terimin toplamının yarısıdır:
122+1442=2662=133\frac{122 + 144}{2} = \frac{266}{2} = 133.

Adım Adım Çözüm

1
Örüntüdeki her satırda bulunan sayı adedini analiz et.
1. satırda 1, 2. satırda 3, 3. satırda 5... n. satırda (2n-1) adet sayı vardır.
Sayılar tek sayılar dizisi şeklinde artmaktadır.
2
n. satırın son sayısını bulmak için toplam sayı adedini hesapla.
n satırın sonundaki sayı, ilk n tek sayının toplamıdır: n².
1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n² formülü kullanılır.
3
11. satırın son sayısını ve 12. satırın aralığını belirle.
11. satırın sonu: 11² = 121. Dolayısıyla 12. satır 122 ile başlar ve 12² = 144 ile biter.
Bir satırın son sayısı n² olduğuna göre, bir sonraki satır n² + 1 ile başlar.
4
12. satırın ortasındaki sayıyı bul.
Başlangıç (122) ve Bitiş (144) değerlerinin ortalaması: (122 + 144) / 2 = 133.
Ardışık sayı dizilerinde ortanca terim, ilk ve son terimin aritmetik ortalamasıdır.

Anahtar Kavram

Özel Sayı Örüntüleri ve Toplam Formülleri

İpuçları

1
Her satırdaki son sayılara dikkat edin: 1, 4, 9, 16... Bu sayılar size tanıdık geliyor mu?
2
n. satırın son sayısı n² formülü ile bulunur. O halde 11. satır kaç ile biter?
3
11. satır 121 ile biter. Demek ki 12. satır 122 ile başlar ve 144 (12²) ile biter. Bu aralığın tam ortasını bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer kurala sahip ancak çift sayılarla ilerleyen (2, 4, 6...) bir piramit sorusu çözerek örüntü yeteneğini pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Formül Yöntemi: n. satırın ortasındaki sayı genel formülü n2−n+1n^2 - n + 1'dir. Burada n=12 yazılırsa: 144−12+1=133144 - 12 + 1 = 133 sonucu doğrudan bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Dizileri ve Örüntüler

Bu konudan daha fazla soru