Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)
xx bir tam sayı olmak üzere,
x2−8x+48 \sqrt{x^2 - 8x + 48}
ifadesinin bir rasyonel sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, xx'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    8
  2. 16Cevap
  3. C
    17
  4. D
    19
  5. E
    32

Cevap

xx değerlerinin toplamı 16'dır.
Verilen köklü ifadenin rasyonel olabilmesi için kök içinin bir tam sayının karesi olması gerekir (k2k^2). İfade (x−4)2+32=k2(x-4)^2 + 32 = k^2 şeklinde düzenlendiğinde, k2−(x−4)2=32k^2 - (x-4)^2 = 32 elde edilir. Bu iki kare farkı, (k−(x−4))(k+(x−4))=32(k-(x-4))(k+(x-4))=32 biçiminde yazılır. Çarpımları 32 olan ve toplamları çift sayı olan (aynı pariteli) çarpan çiftleri (2, 16) ve (4, 8)'dir. Bu çiftlerden elde edilen x−4x-4 değerleri ±7\pm 7 ve ±2\pm 2 olur. Buradan xx değerleri 11, -3, 6 ve 2 bulunur. Toplamları 16'dır.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeyi tam kareye tamamlama yöntemiyle düzenle.
(x−4)2+32=k\sqrt{(x-4)^2 + 32} = k (k∈Qk \in \mathbb{Q})
Kök içindeki ifadenin rasyonel olabilmesi için, içerideki sayının tam kare olması gerekir (çünkü xx tam sayı, dolayısıyla kök içi tam sayıdır).
2
Eşitliği düzenleyerek iki kare farkı formatına getir.
k2−(x−4)2=32⇒(k−(x−4))⋅(k+(x−4))=32k^2 - (x-4)^2 = 32 \Rightarrow (k - (x-4)) \cdot (k + (x-4)) = 32
Çarpanlarına ayırarak tam sayı çözümlerini bulmak için.
3
Çarpımı 32 olan ve aynı pariteye (tek-çiftlik durumuna) sahip çarpan çiftlerini belirle.
Çarpanların toplamı 2k2k (çift) olduğu için her iki çarpan da çift olmalıdır: (2,16)(2, 16) ve (4,8)(4, 8).
Tek ve çift sayıların toplamı tek, çarpımı çift olurdu; ancak burada toplamın 2k2k olması her iki çarpanın da çift olmasını zorunlu kılar.
4
Her çarpan çifti için xx değerlerini hesapla.
1. Durum (2,16)(2, 16): 2(x−4)=16−2⇒x=112(x-4) = 16-2 \Rightarrow x=11 veya 2(x−4)=2−16⇒x=−32(x-4) = 2-16 \Rightarrow x=-3. 2. Durum (4,8)(4, 8): 2(x−4)=8−4⇒x=62(x-4) = 8-4 \Rightarrow x=6 veya 2(x−4)=4−8⇒x=22(x-4) = 4-8 \Rightarrow x=2.
Y=x−4Y = x-4 dersek, çarpanlar k−Yk-Y ve k+Yk+Y olur. Farkları 2Y2Y'dir.
5
Bulunan tüm xx değerlerini topla.
11+(−3)+6+2=1611 + (-3) + 6 + 2 = 16
Soruda istenen nihai sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

Tam Kareye Tamamlama ve İki Kare Farkı

İpuçları

1
Kök dışına rasyonel çıkabilmesi için, kök içindeki ifadenin bir tam sayının karesine (k2k^2) eşit olması gerekir.
2
x2−8x+48x^2 - 8x + 48 ifadesini tam kareye tamamlayın: (x−4)2+32=k2(x-4)^2 + 32 = k^2.
3
k2−(x−4)2=32k^2 - (x-4)^2 = 32 eşitliğini iki kare farkı olarak yazıp çarpanlarına ayırın. Çarpanların ikisinin de çift sayı olması gerektiğini unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla n2+12n+12\sqrt{n^2 + 12n + 12} ifadesini tam sayı yapan nn değerlerini bulunuz.

Alternatif Yöntem

Denklem x2−8x+(48−k2)=0x^2 - 8x + (48-k^2) = 0 olarak düşünülüp, diskriminantın tam kare olması şartından da gidilebilir ancak bu yol daha karmaşıktır.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Bu konudan daha fazla soru