Examkin

Soru

Zorluk: ZorKüme Problemleri

Bir kalkınma ajansına sunulan projeler; "İstihdam", "Verimlilik" ve "İnovasyon" olmak üzere üç farklı kriter açısından değerlendirilmiştir. Değerlendirme raporuna göre aşağıdakiler bilinmektedir:

* Toplam 6565 proje onaylanmış olup, her proje en az bir kriteri sağlamaktadır.
* Sadece tek bir kriteri sağlayan projelerin sayıları birbirine eşittir.
* Sadece iki kriteri sağlayan projelerin sayıları birbirine eşittir.
* Her üç kriteri de sağlayan proje sayısı, sadece iki kriteri sağlayan herhangi bir grubun sayısının üçte biridir.
* En az iki kriteri sağlayan toplam proje sayısı 2020'dir.

Buna göre, "Verimlilik" kriterini sağlayan toplam proje sayısı kaçtır?

  1. A
    21
  2. B
    23
  3. C
    27
  4. 29Cevap
  5. E
    33

Cevap

Verimlilik kriterini sağlayan toplam 29 proje vardır.
Verimlilik kriterini sağlayan proje sayısı, bu kümeye ait tüm alt bölgelerin toplamıdır: Sadece Verimlilik (xx), Verimlilik ve İstihdam (yy), Verimlilik ve İnovasyon (yy) ve her üç kriter (zz). Hesaplamalar sonucu x=15,y=6,z=2x=15, y=6, z=2 bulunduğundan, toplam 15+6+6+2=2915 + 6 + 6 + 2 = 29 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri ve bilinmeyenleri tanımla.
Sadece 1 kriter sağlayanlar: xx (her biri için eşit). Sadece 2 kriter sağlayanlar: yy (her biri için eşit). Her 3 kriteri sağlayanlar: zz.
Sözel ifadeyi matematiksel değişkenlere dökmek çözümü kolaylaştırır.
2
"En az iki kriter" ve oran bilgisini kullanarak yy ve zz değerlerini bul.
Verilen oran y=3zy = 3z. Denklem: 3y+z=20⇒3(3z)+z=20⇒10z=20⇒z=23y + z = 20 \Rightarrow 3(3z) + z = 20 \Rightarrow 10z = 20 \Rightarrow z = 2. Buradan y=6y = 6 bulunur.
Üçlü kesişim ve ikili kesişimlerin toplamı 20 olarak verilmiştir.
3
Toplam proje sayısını kullanarak xx değerini bul.
Toplam = 3x+3y+z=653x + 3y + z = 65. 3x+18+2=65⇒3x=45⇒x=153x + 18 + 2 = 65 \Rightarrow 3x = 45 \Rightarrow x = 15.
Evrensel küme (birleşim) formülü ile tek bilinmeyen kalan xx hesaplanır.
4
"Verimlilik" kümesinin eleman sayısını hesapla.
Verimlilik (V) = (Sadece V) + (Sadece V∩İ) + (Sadece V∩E) + (Her üçü). V = x+y+y+z=15+6+6+2=29x + y + y + z = 15 + 6 + 6 + 2 = 29.
Bir kümenin toplam eleman sayısı, o kümeyi oluşturan tüm ayrık bölgelerin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Kesişim Problemleri

İpuçları

1
Projeleri üç kesişen küme olarak düşünün (Venn şeması). Kümelerin sadece kendine ait kısımlarına xx, sadece iki kümenin kesiştiği kısımlara yy ve üçünün kesişimine zz diyerek denklemleri kurun.
2
'En az iki kriteri sağlayan' demek, sadece iki kriteri sağlayanlar (3y3y) ile üçünü de sağlayanların (zz) toplamı demektir (3y+z=203y + z = 20).
3
y=3zy = 3z eşitliğini kullanarak önce zz'yi bulun. Sonra toplam sayı formülü (3x+3y+z=653x + 3y + z = 65) ile xx'i elde edin. Verimlilik kümesi x+2y+zx + 2y + z toplamıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 'en çok bir dili bilenler' veya 'en az bir dersi geçenler' kalıplarını kullanan sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Problemleri

Bu konudan daha fazla soru