Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir (a_n) dizisinin terimleri arasında, her n … — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $(a_n)$ dizisinin terimleri arasında, her $n \ge 1$ tam sayısı için;

a_1 = 3

a_{n+1} = \begin{cases} 2a_n - 1, & n \text{ tek ise} \\ a_n + 2, & n \text{ çift ise} \end{cases}

bağıntıları bulunmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 20. terimi ( $a_{20}$ ) kaçtır?

4093

Verilen rekürsif bağıntı incelendiğinde, dizinin terimleri iki farklı alt dizi oluşturur. Tek indisli terimler (

a_1, a_3, a_5...

)

2^{n+1}-1

kuralını izlerken, çift indisli terimler (

a_2, a_4, a_6...

)

2^{n/2 + 2} - 3

kuralını izler.

a_{20}

terimi için

n=20

olduğundan, çift indis kuralı uygulanır:

2^{20/2 + 2} - 3 = 2^{12} - 3 = 4096 - 3 = 4093

bulunur.

İlk birkaç terimi hesaplayarak dizinin davranışını analiz et.

a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7, a4 = 13, a5 = 15, a6 = 29, a7 = 31...

Dizinin tek ve çift indisli terimleri arasında farklı iki örüntü olup olmadığını görmek için.

Tek indisli ve çift indisli terimler için genel kuralı türet.

Tekler (a1, a3...): 3, 7, 15... kuralı 2^(k+1)-1. Çiftler (a2, a4...): 5, 13, 29... kuralı a(2k) = 2^(k+2) - 3.

a20 bir çift indisli terimdir (2k=20 ise k=10), bu yüzden çiftlerin kuralına ihtiyaç vardır.

Türetilen formülde k=10 değerini yerine koyarak a20'yi hesapla.

a20 = 2^(10+2) - 3 = 2^12 - 3 = 4096 - 3 = 4093.

Genel terim formülünü spesifik soru değerine uygulamak.

Parçalı Fonksiyon ve Yinelemeli (Rekürsif) Diziler

Dizinin ilk 6-7 terimini tek tek hesaplayarak sayıların nasıl arttığını gözlemleyin.

Tek sıradaki terimlerin (1., 3., 5.) ve çift sıradaki terimlerin (2., 4., 6.) kendi aralarında nasıl bir kurala sahip olduğunu ayrı ayrı inceleyin.

Çift indisli terimler

a_{2k}

formatındadır.

a_2=5 (2^3-3)

a_4=13 (2^4-3)

olduğuna dikkat edin.

Terimleri tek tek yazarken farkların periyodik olarak nasıl değiştiğine (örneğin çift adımda bir +2, diğer adımda artan üsler) odaklanılabilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru