Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKüme Problemleri

Bir halk eğitim merkezinde 'Ebru', 'Hat' ve 'Tezhip' sanatları üzerine kurslar açılmıştır. Kurslara katılanlarla ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* Her katılımcı bu üç kurstan en az birine kayıtlıdır.
* Ebru kursuna katılanların hiçbiri Tezhip kursuna katılmamıştır.
* Hat kursuna katılan toplam kişi sayısı 2424'tür.
* Hat kursuna katılanların 13\frac{1}{3}'ü aynı zamanda Ebru kursuna da katılmıştır.
* Hat kursuna katılanların 14\frac{1}{4}'ü aynı zamanda Tezhip kursuna da katılmıştır.
* Ebru kursuna katılan toplam kişi sayısı, Hat kursuna katılan toplam kişi sayısına eşittir.
* Sadece Ebru kursuna katılanların sayısı, sadece Tezhip kursuna katılanların sayısına eşittir.

Buna göre, bu kurslara katılan toplam öğrenci sayısı kaçtır?

  1. A
    48
  2. B
    52
  3. 56Cevap
  4. D
    58
  5. E
    70

Cevap

Kurslara katılan toplam öğrenci sayısı 56'dır.
Doğru cevap 56'dır çünkü verilen oranlar kullanılarak kesişim bölgeleri (8 ve 6 kişi) hesaplanır. Ebru ve Tezhip kümelerinin kesişimi boş küme olduğundan, Hat kümesinden bu iki kesişim çıkarılarak sadece Hat dersi alanlar (10 kişi) bulunur. Toplam Ebru sayısı Hat sayısına eşit (24) olduğu için, sadece Ebru alanlar 16 kişi bulunur. Sadece Tezhip alanlar da buna eşit olduğundan 16 kişidir. Tüm ayrık bölgelerin toplamı (16+16+10+8+6) 56 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayısal değerleri ve kesişim kümelerini belirle.
s(H)=24s(H) = 24. s(H∩E)=24⋅13=8s(H \cap E) = 24 \cdot \frac{1}{3} = 8. s(H∩T)=24⋅14=6s(H \cap T) = 24 \cdot \frac{1}{4} = 6.
Sorudaki kesir ifadelerini sayıya dökmek için.
2
Ebru ve Tezhip kümelerinin ayrık olduğunu (E∩T=∅E \cap T = \emptyset) dikkate alarak Hat kümesinin sadece kendine ait eleman sayısını bul.
s(Sadece H)=s(H)−s(H∩E)−s(H∩T)=24−8−6=10s(\text{Sadece } H) = s(H) - s(H \cap E) - s(H \cap T) = 24 - 8 - 6 = 10.
Hat kümesi diğer iki kümeyle kesişmekte ancak Ebru ve Tezhip kesişmediği için üçlü kesişim yoktur.
3
Ebru kümesinin toplam eleman sayısını ve 'Sadece Ebru' sayısını bul.
s(E)=s(H)=24s(E) = s(H) = 24 olarak verilmiş. s(E)=s(Sadece E)+s(H∩E)⇒24=x+8⇒x=16s(E) = s(\text{Sadece } E) + s(H \cap E) \Rightarrow 24 = x + 8 \Rightarrow x = 16. (Sadece Ebru)
Toplam Ebru sayısı verildiği için bilinmeyen 'Sadece Ebru' sayısı bulunabilir.
4
'Sadece Tezhip' sayısını bul ve toplam katılımcıyı hesapla.
Soruda 'Sadece E' = 'Sadece T' dendiği için, s(Sadece T)=16s(\text{Sadece } T) = 16. Toplam = (Sadece E) + (Sadece T) + (Sadece H) + (E kesişim H) + (T kesişim H) = 16+16+10+8+6=5616 + 16 + 10 + 8 + 6 = 56.
Ayrık bölgelerin toplamı birleşim kümesinin eleman sayısını verir.

Anahtar Kavram

Ayrık Kümeler ve Kesişim Problemleri

İpuçları

1
Kümeleri çizerek çalışın. Ebru ve Tezhip kümelerinin kesişiminin boş olduğunu (E∩T=∅E \cap T = \emptyset) dikkate alarak, Hat kümesini bu iki kümenin ortasına, onlarla kesişecek şekilde yerleştirin.
2
Önce Hat kümesinin kesişim elemanlarını bulun: 2424'ün 1/31/3'ü ve 1/41/4'ü kaçtır? Bu sayılar H∩EH \cap E ve H∩TH \cap T bölgeleridir.
3
s(E)=24s(E) = 24 olduğunu biliyorsunuz ve kesişim (E∩HE \cap H) 8 kişi. O halde sadece Ebru dersi alanları bulabilirsiniz. Bu sayı sadece Tezhip alanlara da eşittir. Tüm parçaları toplayın.

Alternatif Yöntem

Formül yöntemi: s(E∪H∪T)=s(E)+s(H)+s(T)−[s(E∩H)+s(H∩T)+s(E∩T)]+s(E∩H∩T)s(E \cup H \cup T) = s(E) + s(H) + s(T) - [s(E \cap H) + s(H \cap T) + s(E \cap T)] + s(E \cap H \cap T). Burada E∩T=∅E \cap T = \emptyset olduğundan son iki terim 0'dır. s(T)s(T)'yi bularak formülde yerine koyabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Problemleri

Bu konudan daha fazla soru