Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Dizileri ve Örüntüler

Bir veri güvenliği yazılımı, şifreleme anahtarı oluşturmak için pozitif tam sayılardan oluşan bir dizi (ana_n) kullanmaktadır. Dizinin terimleri, n≥1n \ge 1 olmak üzere aşağıdaki kurala göre belirlenmektedir:

an+1={3⋅an+1,an tek sayı isean2,an c¸ift sayı isea_{n+1} = \begin{cases} 3 \cdot a_n + 1, & a_n \text{ tek sayı ise} \\ \frac{a_n}{2}, & a_n \text{ çift sayı ise} \end{cases}

Bu algoritmaya göre oluşturulan bir dizinin 4. teriminin (a4a_4) 10 olduğu bilinmektedir.

Buna göre, dizinin başlangıç teriminin (a1a_1) alabileceği tüm farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    80
  2. B
    92
  3. C
    93
  4. 105Cevap
  5. E
    120

Cevap

Başlangıç terimi 12, 13 veya 80 olabilir; bu değerlerin toplamı 105'tir.
Verilen kurala göre a4=10a_4=10 değerinden geriye doğru gidildiğinde üç farklı yol oluşur. İlk yol sürekli ikiye katlayarak gider (10←20←40←8010 \leftarrow 20 \leftarrow 40 \leftarrow 80). İkinci yol, a2=40a_2=40 iken a1a_1'in tek sayı olma ihtimalini değerlendirir (40←1340 \leftarrow 13). Üçüncü yol ise a3a_3'ün tek sayı olma ihtimalinden doğar (10←3←6←1210 \leftarrow 3 \leftarrow 6 \leftarrow 12). Bu üç olası başlangıç değerinin (80, 13, 12) toplamı 105'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin kuralını tersten işleterek a4a_4 değerinden a3a_3 değerlerini bulma.
a4=10a_4=10. Eğer a3a_3 çift ise a3/2=10⇒a3=20a_3/2=10 \Rightarrow a_3=20. Eğer a3a_3 tek ise 3a3+1=10⇒3a3=9⇒a3=33a_3+1=10 \Rightarrow 3a_3=9 \Rightarrow a_3=3. (Her iki değer de geçerlidir: 20 ve 3)
Diziyi geriye doğru takip ederek olası önceki terimleri tespit etmek.
2
Bulunan a3a_3 değerlerinden (20 ve 3) a2a_2 değerlerini hesaplama.
Dal 1 (a3=20a_3=20): Çift ise a2=40a_2=40. Tek ise 3a2+1=20⇒3a2=193a_2+1=20 \Rightarrow 3a_2=19 (Tam sayı değil, geçersiz). Sadece 40 mümkün.
Dal 2 (a3=3a_3=3): Çift ise a2=6a_2=6. Tek ise 3a2+1=3⇒3a2=23a_2+1=3 \Rightarrow 3a_2=2 (Tam sayı değil, geçersiz). Sadece 6 mümkün.
Olası a2a_2 değerleri: 40 ve 6.
Her bir dal için tek ve çift olma şartlarını kontrol ederek geçerli tam sayıları bulmak.
3
Bulunan a2a_2 değerlerinden (40 ve 6) a1a_1 değerlerini hesaplama.
Dal 1 (a2=40a_2=40): Çift ise a1=80a_1=80. Tek ise 3a1+1=40⇒3a1=39⇒a1=133a_1+1=40 \Rightarrow 3a_1=39 \Rightarrow a_1=13. (Her ikisi de geçerli: 80 ve 13)
Dal 2 (a2=6a_2=6): Çift ise a1=12a_1=12. Tek ise 3a1+1=6⇒3a1=53a_1+1=6 \Rightarrow 3a_1=5 (Tam sayı değil, geçersiz). (Sadece 12 geçerli)
Son adımdaki dallanmaları kontrol ederek tüm kök değerlere ulaşmak.
4
Bulunan tüm a1a_1 değerlerini toplama.
Değerler: 80, 13, 12. Toplam: 80+13+12=10580 + 13 + 12 = 105.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Tersine İşlem ve Dallanma Mantığı

İpuçları

1
Soruyu çözmeye sondan başa doğru giderek (a4→a3→a2→a1a_4 \rightarrow a_3 \rightarrow a_2 \rightarrow a_1) başlayın. Ters işlem yaparken, bölme işleminin tersinin çarpma, toplamanın tersinin çıkarma olduğunu hatırlayın.
2
Her adımda iki ihtimali de kontrol edin: Sayı bir önceki adımda çift olup 2'ye mi bölünmüş, yoksa tek olup 3 ile çarpılıp 1 mi eklenmiş? Tek sayı ihtimali için (Sonuc−1)/3(Sonuc - 1) / 3 işleminin tam sayı çıkıp çıkmadığına bakın.
3
a3a_3 için 20 ve 3 değerlerini bulacaksınız. Bu değerlerin her biri için tekrar geriye gidin. Toplamda 3 farklı a1a_1 değeri bulmalısınız.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Dizileri ve Örüntüler

Bu konudan daha fazla soru