Examkin

Soru

Zorluk: ZorRutin Olmayan Problemler

Dairesel bir platform üzerinde, saat yönünde artan sırada 1'den 9'a kadar numaralandırılmış 9 adet sensör bulunmaktadır. Sistem başlangıçta 1 numaralı sensörü aktif etmektedir.

Sistemin işleyiş kuralı şu şekildedir: nn. işlem adımında, aktif olan sensörden başlanarak saat yönünde (2n+1)(2n + 1) birim ilerlenir ve varılan noktadaki sensör yeni aktif sensör olur.

Buna göre, 12. işlem adımının sonunda aktif olan sensörün numarası kaçtır?

  1. A
    4
  2. B
    5
  3. C
    6
  4. 7Cevap
  5. E
    8

Cevap

12. adımın sonunda aktif olan sensör 7 numaralı sensördür.
Toplam yer değiştirme miktarı 1'den 12'ye kadar olan (2n+1)(2n+1) terimlerinin toplamıdır. Bu toplam 168 birim eder. 9 sensörlü bir dairesel sistemde 168 birimlik hareket, 168(mod9)=6168 \pmod 9 = 6 birimlik net ilerlemeye denktir. Başlangıç sensörü 1 olduğu için, 6 birim ilerlendiğinde 7 numaralı sensöre ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Her bir adımda gerçekleşen yer değiştirme miktarını belirle.
nn. adımda yer değiştirme miktarı (2n+1)(2n + 1) birimdir.
Soruda verilen kurala göre hareket miktarı tanımlanmıştır.
2
12 adım sonundaki toplam yer değiştirme miktarını hesapla.
Toplam yer değiştirme = ∑n=112(2n+1)\sum_{n=1}^{12} (2n + 1)
Konum değişikliği kümülatif olduğu için tüm adımların toplamı alınmalıdır.
3
Toplam formülünü uygula.
2⋅12⋅132+12⋅1=156+12=1682 \cdot \frac{12 \cdot 13}{2} + 12 \cdot 1 = 156 + 12 = 168 birim.
∑(an+b)=a⋅n(n+1)2+n⋅b\sum (an+b) = a \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n \cdot b formülü kullanılır.
4
Toplam yer değiştirmenin mod 9'a göre dengini bul.
168(mod9)≡6168 \pmod 9 \equiv 6. (Çünkü 1+6+8=151+6+8=15, 1515'in 9'a bölümünden kalan 6'dır).
9 sensörlü dairesel sistemde her 9 birimlik hareket aynı konuma getirir.
5
Başlangıç konumuna kalanı ekleyerek sonucu bul.
Başlangıç (1) + Yer değiştirme (6) = 7.
Sistem 1 numaradan başladığı için kalan değer üzerine eklenir.

Anahtar Kavram

Modüler Aritmetik ve Sayı Dizileri Toplamı

İpuçları

1
Sensörlerin dairesel dizilmesi, işlemin modüler aritmetik (kalan bulma) ile ilgili olduğunu gösterir.
2
Her adımda gidilen mesafe artmaktadır. 12 adımın sonunda toplam ne kadar yol alındığını bulmak için aritmetik dizi toplam formülünü kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, sensör sayısının 9 yerine 12 olduğu durumda sonucun nasıl değişeceğini düşünün.

Alternatif Yöntem

Toplam formülü yerine ardışık toplam mantığı kullanılabilir: Tek sayıların toplamı n2n^2 ile ilişkilidir ancak burada formül ∑(2n+1)=n(n+1)+n=n2+2n\sum(2n+1) = n(n+1) + n = n^2 + 2n. 122+24=144+24=16812^2 + 24 = 144 + 24 = 168.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Rutin Olmayan Problemler

Bu konudan daha fazla soru