Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek ve Çift Sayılar

x,yx, y ve zz birer tam sayı olmak üzere,
* x+y⋅zx + y \cdot z ifadesinin bir çift sayı,
* x⋅y+zx \cdot y + z ifadesinin bir tek sayı
olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

  1. A
    x+y+zx + y + z
  2. B
    x+2y+zx + 2y + z
  3. C
    x+zx + z
  4. x⋅z+yx \cdot z + yCevap
  5. E
    y−zy - z

Cevap

x⋅z+yx \cdot z + y ifadesi daima çift sayıdır.
Yapılan analiz sonucunda xx ve yy sayılarının çift, zz sayısının ise tek olduğu kesinleşmiştir. Buna göre 'x çarpı z artı y' ifadesinde, çift bir sayı olan x ile herhangi bir tamsayı olan z'nin çarpımı çift olur; bu sonuca çift olan y eklendiğinde toplam yine çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
xx sayısının tek olduğu varsayılarak denklemler kontrol edilir.
xx tek ise, x+y⋅zx + y \cdot z çift olduğundan y⋅zy \cdot z tek olmalıdır (yy ve zz tek).
Toplama işleminin sonucunun çift olması için her iki terimin de aynı türde (tek+tek veya çift+çift) olması gerekir.
2
Bulunan (T,T,T)(T, T, T) durumu ikinci ifadede test edilir.
x⋅y+z→T⋅T+T=T+T=C\ciftx \cdot y + z \rightarrow T \cdot T + T = T + T = Çift olur.
İkinci ifadenin sonucunun tek sayı olduğu bilgisiyle çelişki oluştuğu için xx tek olamaz.
3
xx sayısının çift olduğu varsayılarak denklemler yeniden çözülür.
xx çift ise, x+y⋅zx + y \cdot z çift olduğundan y⋅zy \cdot z çift olmalıdır. Ayrıca x⋅y+zx \cdot y + z tek ise, C\cift+zÇift + z tek olacağından zz tektir.
Bir çift sayı ile ancak bir tek sayının toplamı tek sonucu verir.
4
zz sayısının tek olduğu bilgisiyle yy sayısı belirlenir.
y⋅zy \cdot z çift ve zz tek ise yy çift olmalıdır.
Çarpımın çift olması için çarpanlardan en az birinin çift olması gerekir.
5
x=C\cift,y=C\cift,z=Tekx=Çift, y=Çift, z=Tek değerleri seçeneklerde yerine konur.
x⋅z+y→C\cift⋅Tek+C\cift=C\cift+C\cift=C\ciftx \cdot z + y \rightarrow Çift \cdot Tek + Çift = Çift + Çift = Çift bulunur.
Sadece bu seçenek daima çift sonuç verir.

Anahtar Kavram

İfadelerin tek veya çiftliği belirlenirken değişkenlerin durumları varsayımlar ve çelişkiler üzerinden analiz edilir.

İpuçları

1
Birinci ifadede xx için 'tek' ve 'çift' durumlarını ayrı ayrı varsayarak başlayın.
2
Eğer xx tek olsaydı, çarpımları tek olan yy ve zz de tek olmak zorundaydı; bu durumun ikinci ifadeyi bozup bozmadığına bakın.
3
xx ve yy sayılarının çift, zz sayısının tek olduğunu bulduğunuzda seçenekleri test edin.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin rasyonel sayı veya pozitif tam sayı olma kısıtlarını değiştirerek sorunun çözümündeki farklılıkları inceleyin.

Alternatif Yöntem

Tablo yöntemi kullanarak x,y,zx, y, z için tüm olası (T, Ç) kombinasyonlarını deneyip verilmeyen iki kısıtı da sağlayan tek durumu tespit edebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru