Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Sıfırdan farklı x,yx, y ve zz gerçel sayıları için aşağıdaki üç koşul sağlanmaktadır:

I. x+yx + y toplamı bir rasyonel sayıdır.
II. y⋅zy \cdot z çarpımı bir rasyonel sayıdır.
III. x⋅zx \cdot z çarpımı bir irrasyonel sayıdır.

Buna göre x,yx, y ve zz sayılarının ait oldukları sayı kümeleri aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. A
    xx rasyonel, yy ve zz irrasyonel sayıdır.
  2. B
    yy rasyonel, xx ve zz irrasyonel sayıdır.
  3. C
    zz rasyonel, xx ve yy irrasyonel sayıdır.
  4. x,yx, y ve zz irrasyonel sayılardır.Cevap
  5. E
    x,yx, y ve zz rasyonel sayılardır.

Cevap

Her üç sayı da (x,yx, y ve zz) irrasyonel olmak zorundadır.
Verilen öncüllerden yola çıkarak 'olmayana ergi' (proof by contradiction) yöntemi uygulandığında; herhangi bir sayının rasyonel olduğu varsayımı, diğer sayıların da rasyonel olmasını gerektirir. Bu durum, üçüncü öncüldeki (x⋅zx \cdot z irrasyoneldir) koşuluyla çelişir. Dolayısıyla, bu zincirleme mantık gereği x,yx, y ve zz sayılarının tamamı irrasyonel kümesine ait olmak zorundadır.

Adım Adım Çözüm

1
III. öncülü analiz et.
x⋅zx \cdot z irrasyoneldir.
Bu bilgi, xx ve zz'nin aynı anda rasyonel olamayacağını, hatta en az birinin irrasyonel olması gerektiğini gösterir.
2
xx'in rasyonel olduğunu varsayarak çelişki ara.
Eğer x∈Qx \in \mathbb{Q} ise, I. öncülden (x+y∈Qx+y \in \mathbb{Q}) dolayı yy de rasyonel olmak zorundadır. Eğer y∈Qy \in \mathbb{Q} (ve y≠0y \neq 0) ise, II. öncülden (y⋅z∈Qy \cdot z \in \mathbb{Q}) dolayı zz de rasyonel olmak zorundadır.
İki rasyonel sayının toplamı ve çarpımı rasyoneldir. Bir rasyonel ile bir irrasyonelin toplamı/çarpımı (0 hariç) irrasyoneldir.
3
Varsayımın sonucunu III. öncülle karşılaştır.
Eğer x,y,zx, y, z hepsi rasyonel olursa, x⋅zx \cdot z rasyonel olur. Ancak III. öncül x⋅zx \cdot z'nin irrasyonel olduğunu söylüyor.
Bu bir çelişkidir. Demek ki xx rasyonel olamaz. Yani xx irrasyoneldir.
4
xx'in irrasyonel olduğu bilgisini kullanarak diğerlerini bul.
xx irrasyonel ise, x+yx+y'nin rasyonel olması için yy irrasyonel olmalıdır (örneğin y=q−xy = q - x). yy irrasyonel ise (ve y≠0y \neq 0), y⋅zy \cdot z'nin rasyonel olması için zz irrasyonel olmalıdır (örneğin z=p/yz = p/y).
İrrasyonel bir sayı ile rasyonel bir sayının toplamı irrasyoneldir. İrrasyonel bir sayı ile sıfırdan farklı bir rasyonel sayının çarpımı irrasyoneldir.
5
Sonuçları birleştir.
x,yx, y ve zz'nin hepsi irrasyonel olmak zorundadır.
Çelişki yöntemiyle tek tutarlı seçeneğin bu olduğu ispatlanmıştır.

Anahtar Kavram

İrrasyonel Sayılarla İşlemlerde Kapalılık Özellikleri ve Olmayana Ergi (Çelişki) Yöntemi

İpuçları

1
Soruyu çözmek için 'olmayana ergi' yöntemini kullanmayı deneyin. Örneğin, 'xx rasyonel bir sayı olsaydı ne olurdu?' sorusuyla başlayın.
2
Eğer xx rasyonel ise, x+yx+y'nin rasyonel olması yy hakkında ne söyler? Ardından bu yy bilgisiyle y⋅zy \cdot z koşuluna bakın.
3
xx rasyonel ise yy de rasyonel olur. yy rasyonel ise zz de rasyonel olur. Üçü de rasyonel olursa x⋅zx \cdot z çarpımı irrasyonel olabilir mi?

Daha Fazla Pratik

İki irrasyonel sayının toplamının rasyonel, çarpımının irrasyonel olduğu durumlar üzerine alıştırma yapın.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi (Counter-example): x,y,zx, y, z için rasyonel değerler vererek III. öncülün sağlanmadığını görünce şıkları eleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Bu konudan daha fazla soru