Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAralarında Asal Sayılar

xx bir pozitif tam sayı olmak üzere, x+3x+3 ve x+14x+14 sayılarının aralarında asal olduğu bilinmektedir.

Buna göre, xx aşağıdakilerden hangisi olamaz?

  1. A
    14
  2. B
    16
  3. 19Cevap
  4. D
    24
  5. E
    35

Cevap

19 değeri olamaz, çünkü bu durumda sayılar 11'in katı olur.
İki sayının aralarında asal olması için 1'den başka ortak bölenleri olmamalıdır. Verilen (x+3)(x+3) ve (x+14)(x+14) sayılarının farkı 11'dir. Öklid algoritmasına göre, bu iki sayının herhangi bir ortak böleni, farkları olan 11'i de bölmelidir. 11 asal olduğu için, bu sayılar ancak ve ancak ikisi de 11'in katı ise aralarında asal olmazlar. Seçeneklerdeki 19 değeri yerine konulduğunda sayılar 22 ve 33 olur; her ikisi de 11'e bölündüğü için aralarında asal değildirler.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayıların EBOB özelliklerini incele.
EBOB(a, b) = EBOB(a, b-a) özelliğini kullanalım. Sayılarımız (x+3)(x+3) ve (x+14)(x+14).
İki sayının en büyük ortak böleni, bu sayıların farkını da bölmek zorundadır.
2
Sayıların farkını hesapla.
Fark = (x+14)−(x+3)=11(x+14) - (x+3) = 11.
Bu fark sabittir ve x değerine bağlı değildir.
3
Aralarında asallık koşulunu analiz et.
Bu iki sayının ortak böleni varsa, bu bölen 11'i de bölmelidir. 11 asal sayı olduğundan, ortak bölen sadece 1 veya 11 olabilir.
Sayıların aralarında asal olması için ortak bölenin 1 olması gerekir. Eğer sayılar 11'in katı ise aralarında asal olmazlar.
4
Seçenekleri bu kurala göre test et.
x=19 için: Sayılar (19+3)=22(19+3)=22 ve (19+14)=33(19+14)=33 olur. Her ikisi de 11'e bölünür.
22 ve 33 sayılarının EBOB'u 11'dir, yani aralarında asal değildirler. Bu yüzden x değeri 19 olamaz.

Anahtar Kavram

İki sayının en büyük ortak böleni (EBOB), bu sayıların farkını da böler. Eğer fark asal sayı ise, sayılar ya aralarında asaldır ya da o asal sayının katıdırlar.

İpuçları

1
İki sayının aralarında asal olması için ortak bölenlerinin sadece 1 olması gerekir.
2
Bu iki sayının farkını bulun: (x+14)−(x+3)(x+14) - (x+3) kaç eder? Ortak bölen bu farkı da bölmelidir.
3
Fark 11'dir. Eğer bu sayılar 11'in katı olurlarsa aralarında asal olamazlar. Hangi şık sayıları 11'in katı yapar?

Alternatif Yöntem

Şıklardan giderek her bir x değeri için sayı çiftlerini oluşturup EBOB'larına bakılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Aralarında Asal Sayılar

Bu konudan daha fazla soru