Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTek ve Çift Sayılar
x,yx, y ve zz tam sayılar olmak üzere,
x⋅y+5z+4=x+3 \frac{x \cdot y + 5}{z + 4} = x + 3
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?
  1. A
    x⋅z+zx \cdot z + z
  2. B
    x+zx + z
  3. C
    y⋅z+3y \cdot z + 3
  4. x⋅y+xx \cdot y + xCevap
  5. E
    y+z+1y + z + 1

Cevap

x⋅y+xx \cdot y + x ifadesi daima çift sayıdır.
Verilen eşitlik analiz edildiğinde iki geçerli durum ortaya çıkar: 1) xx tek ise yy mutlaka tektir. 2) xx çift ise zz mutlaka tektir. x⋅y+xx \cdot y + x ifadesi x(y+1)x(y+1) olarak paranteze alınabilir. 1. durumda xx tek, y+1y+1 çift olduğu için çarpım çifttir. 2. durumda xx zaten çift olduğu için çarpım yine çifttir. Dolayısıyla bu ifade daima çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliği düzenle
x⋅y+5=(x+3)⋅(z+4)x \cdot y + 5 = (x + 3) \cdot (z + 4)
Kesirli ifadeden kurtulmak ve parite analizi yapmak için içler dışlar çarpımı yapılır.
2
Eşitliğin her iki tarafının teklik-çiftlik durumunu xx'in durumuna göre analiz et
Durum 1: xx Tek ise; Sol Taraf = T⋅y+TT \cdot y + T (çift olması gerekir), Sağ Taraf = (T+T)⋅(z+C\c)=C\c⋅(z+C\c)=C\cift(T+T) \cdot (z+Ç) = Ç \cdot (z+Ç) = Çift. Durum 2: xx Çift ise; Sol Taraf = C\c⋅y+T=TÇ \cdot y + T = T, Sağ Taraf = (C\c+T)⋅(z+C\c)=T⋅(z+C\c)(Ç+T) \cdot (z+Ç) = T \cdot (z+Ç).
Eşitliğin sağlanması için sol ve sağ tarafın paritesi aynı olmalıdır.
3
Olası senaryoları belirle
Senaryo 1 (xx Tek): Sol tarafın çift olması için x⋅yx \cdot y tek olmalı, yani yy Tek olmalıdır. (zz her şey olabilir).
Senaryo 2 (xx Çift): Sol taraf Tek olduğu için sağ taraf da Tek olmalıdır. T⋅(z+C\c)T \cdot (z+Ç) ifadesinin tek olması için (z+C\c)(z+Ç) tek olmalı, yani zz Tek olmalıdır. (yy her şey olabilir).
Değişkenlerin zorunlu hallerini tespit etmek.
4
Seçenekleri her iki senaryo için test et
Seçenek (x⋅y+xx \cdot y + x): Senaryo 1'de (x=T,y=Tx=T, y=T): T⋅T+T=T+T=C\ciftT \cdot T + T = T + T = Çift. Senaryo 2'de (x=C\cx=Ç): C\c⋅y+C\c=C\c+C\c=C\ciftÇ \cdot y + Ç = Ç + Ç = Çift.
Her iki durumda da daima çift olan seçeneği bulmak.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda işlemlerin parite (teklik-çiftlik) analizi ve mantıksal çıkarım.
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru