Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)
Gerçel sayılar kümesinin bir alt kümesi olan KK kümesi,
K={x∈R∣x2∈Q} K = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 \in \mathbb{Q} \}
şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre, KK kümesi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    K kümesinden alınan farklı iki elemanın toplamı daima K kümesindedir
  2. K kümesinden alınan her x ve y elemanı için, x · y çarpımı da K kümesindedirCevap
  3. C
    K kümesinin tüm elemanları irrasyonel sayılardan oluşur
  4. D
    K kümesindeki her elemanın küpü (3. kuvveti) bir rasyonel sayıdır
  5. E
    K kümesindeki her elemanın çarpma işlemine göre tersi de K kümesindedir

Cevap

Seçilen iki sayının çarpımının karesi de rasyonel olacağından, çarpım işlemi bu kümede kapalılık özelliği gösterir.
K kümesinin tanımı gereği, bir sayının bu kümede olması için karesinin rasyonel olması şarttır. Eğer iki sayı (xx ve yy) bu kümedeyse, kareleri (x2x^2 ve y2y^2) rasyoneldir. Bu sayıların çarpımının (x⋅yx \cdot y) bu kümede olup olmadığını anlamak için karesine bakarız: (x⋅y)2=x2⋅y2(x \cdot y)^2 = x^2 \cdot y^2. İki rasyonel sayının çarpımı daima rasyonel olduğu için, sonuç rasyoneldir ve x⋅yx \cdot y elemanı K kümesindedir.

Adım Adım Çözüm

1
K kümesinin tanımını analiz et.
Bir sayının K kümesinde olması için karesinin (x2x^2) rasyonel sayı (Q\mathbb{Q}) olması gerekir.
Soruda verilen tanım budur.
2
Doğru seçeneği (Çarpma özelliği) test et.
x∈Kx \in K ve y∈Ky \in K olsun. Bu durumda x2∈Qx^2 \in \mathbb{Q} ve y2∈Qy^2 \in \mathbb{Q} olur. Çarpımları (x⋅y)(x \cdot y)'nin K'de olması için (x⋅y)2(x \cdot y)^2'nin rasyonel olması gerekir. (x⋅y)2=x2⋅y2(x \cdot y)^2 = x^2 \cdot y^2 olur. İki rasyonel sayının çarpımı rasyoneldir, dolayısıyla (xy)2∈Q(xy)^2 \in \mathbb{Q} olur.
Rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.
3
Yanlış seçenekleri ele (Toplam özelliği).
x=2x=\sqrt{2} ve y=3y=\sqrt{3} seçelim. İkisi de K kümesindedir çünkü kareleri 2 ve 3'tür (rasyonel). Toplamları: (2+3)(\sqrt{2} + \sqrt{3}). Karesi: 2+3+26=5+262 + 3 + 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6}. 6\sqrt{6} irrasyonel olduğu için bu ifade rasyonel değildir. Yani toplam K kümesinde değildir.
Aksi ispat yöntemi (counter-example) ile yanlışlık gösterilir.
4
Diğer çeldiricileri kontrol et.
0 sayısı K kümesindedir (02=0∈Q0^2=0 \in \mathbb{Q}) ancak tersi tanımsızdır. Rasyonel sayılar (örn. 3) K kümesindedir (32=93^2=9), bu yüzden 'hepsi irrasyoneldir' ifadesi yanlıştır. 2\sqrt{2}'nin küpü 222\sqrt{2}'dir ve irrasyoneldir.
Her seçenek için bir aksi örnek bulunarak elenir.

Anahtar Kavram

Kapalılık Özelliği ve Rasyonel Sayı İşlemleri

İpuçları

1
K kümesinde olup olmadığını anlamak istediğiniz yeni sayının (toplamın veya çarpımın) karesini alıp, sonucun rasyonel olup olmadığını kontrol edin.
2
Çarpma şıkkı için: (x⋅y)2=x2⋅y2(x \cdot y)^2 = x^2 \cdot y^2 özdeşliğini kullanın. Rasyonel sayıların çarpımı rasyonel midir?
3
Toplama şıkkı için aksi örnek düşünün: 2\sqrt{2} ve 3\sqrt{3} sayılarını deneyin. Bu sayıların kareleri rasyoneldir (K kümesindeler), peki (2+3)2(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 rasyonel midir?

Daha Fazla Pratik

İrrasyonel iki sayının toplamının rasyonel olabileceği (eşlenik) durumlar üzerine bir soru çözülmesi önerilir.

Alternatif Yöntem

Sayı kümeleri yerine değer vererek eleme yöntemi: A şıkkı için 2\sqrt{2} ve 3\sqrt{3}, B şıkkı için genel a,ba, b, E şıkkı için 0 veya 2\sqrt{2} değerlerini deneyerek seçenekleri test edebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Bu konudan daha fazla soru