Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÇokgenler

Bir dışbükey çokgenin iç açılarının ölçüleri, ortak farkı 5∘5^{\circ} olan aritmetik bir dizi oluşturmaktadır. Bu çokgenin en küçük iç açısının ölçüsü 120∘120^{\circ} olduğuna göre, çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

  1. A
    20
  2. 27Cevap
  3. C
    35
  4. D
    54
  5. E
    104

Cevap

Çokgenin toplam köşegen sayısı 27'dir.
Verilen şartları sağlayan denklem kurulup çözüldüğünde n=9 ve n=16 kökleri bulunur. Ancak n=16 değeri için en büyük iç açı 195 derece çıktığından dışbükeylik şartı bozulur. Dolayısıyla çokgen 9 kenarlıdır ve köşegen sayısı 27 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İç açılar toplamı formülünü ve aritmetik dizi toplam formülünü eşitle.
(n−2)180=n2[2(120)+(n−1)5](n-2)180 = \frac{n}{2}[2(120) + (n-1)5]
Çokgenin iç açılar toplamı hem (n−2)180(n-2)180 formülüyle hem de verilen aritmetik dizi toplamıyla ifade edilebilir.
2
Elde edilen denklemi düzenleyerek ikinci dereceden denklemi kur.
360n−720=235n+5n2  ⟹  n2−25n+144=0360n - 720 = 235n + 5n^2 \implies n^2 - 25n + 144 = 0
Denklem çözümü için ifade an2+bn+c=0an^2+bn+c=0 standart formuna getirilmelidir.
3
Denklemin köklerini bul.
(n−9)(n−16)=0  ⟹  n=9(n-9)(n-16) = 0 \implies n=9 veya n=16n=16
Çarpanlara ayırma yöntemiyle olası kenar sayıları bulunur.
4
Dışbükeylik şartını (her iç açı < 180°) kontrol et.
n=16n=16 için en büyük açı 120+15(5)=195∘120 + 15(5) = 195^{\circ} olur, bu geçersizdir. n=9n=9 için en büyük açı 160∘160^{\circ} olur, bu geçerlidir.
Dışbükey çokgenlerde hiçbir iç açı 180 derece veya daha büyük olamaz. Bu nedenle n=16 elenir.
5
Geçerli n değeri için köşegen sayısını hesapla.
Köşegen Sayısı = 9(9−3)2=9×62=27\frac{9(9-3)}{2} = \frac{9 \times 6}{2} = 27
n kenarlı çokgenin köşegen sayısı n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Çokgenlerde Açı ve Köşegen İlişkileri

İpuçları

1
Çokgenin iç açılarının toplamı (n−2)180∘(n-2)180^{\circ} formülüyle bulunur. Ayrıca aritmetik dizinin toplam formülünü hatırlayın.
2
İki toplam formülünü birbirine eşitleyerek n'ye bağlı ikinci dereceden bir denklem elde edin: n2−25n+144=0n^2 - 25n + 144 = 0.
3
Denklemin iki kökü vardır (9 ve 16). Ancak 'dışbükey' olma şartını (her bir açının 180'den küçük olması) kontrol ederek doğru n değerini seçmelisiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu dış açılar toplamı üzerinden kurgulayarak çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Dış açılardan gidilebilir: İç açılar aritmetik dizi ise dış açılar da aritmetik dizidir. En büyük dış açı 180−120=60∘180-120=60^{\circ}, ortak fark −5∘-5^{\circ} olur. Dış açılar toplamı her zaman 360 derecedir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Çokgenler

Bu konudan daha fazla soru