Bir kamu kurumunun arşivinde 1'den 60'a kadar numaralandırılmış (1 ve 60 dahil) 60 adet dosya bulunmaktadır. Bir memur, bu dosyalar arasından numarası 60 ile aralarında asal olanları ayırarak 'İncelenecekler' rafına kaldırmıştır. Daha sonra, bir başka görevli bu raftaki dosyalardan numarası 7 ile aralarında asal olmayanları tespit edip raftan indirmiştir.
Buna göre, son durumda 'İncelenecekler' rafında kaç adet dosya kalmıştır?
- A12
- B13
- 14Cevap
- D15
- E16
Cevap
Rafta kalan dosya sayısı 14'tür.
Soruda iki aşamalı bir eleme işlemi vardır. İlk olarak 60 sayısının asal çarpanları olan 2, 3 ve 5'e bölünmeyen 1-60 arasındaki sayılar bulunur. Bu sayılar toplam 16 tanedir. İkinci aşamada ise bu 16 sayı içinden 7 ile aralarında asal olmayanlar, yani 7'nin katı olanlar çıkarılır. Bu grupta 7'nin katı olan sadece 7 ve 49 sayıları vardır. Dolayısıyla 16 dosyadan 2'si çıkarıldığında geriye 14 dosya kalır.
Adım Adım Çözüm
Anahtar Kavram
Euler Phi Fonksiyonu ve İçerme-Dışlama Prensibi
İpuçları
1
Önce 60 sayısının asal çarpanlarını (2, 3, 5) bulun ve 1-60 arasında bu çarpanlara bölünmeyen sayıların adedini hesaplayın.
2
Bulduğunuz bu sayılar (60 ile aralarında asal olanlar) arasından, 7 ile aralarında asal olmayanları yani 7'nin katlarını bulup çıkarmanız gerekir.
3
60 ile aralarında asal olan 16 sayı vardır. Bu sayılar içinde 7'nin katı olanlar sadece 7 ve 49'dur.
Daha Fazla Pratik
Benzer mantıkla, 'x sayısı 30 ile aralarında asaldır ancak 11 ile aralarında asal değildir' koşulunu sağlayan sayıların bulunması sorusu çözülebilir.
Alternatif Yöntem
Tüm sayıları tek tek yazmak yerine Euler Phi fonksiyonu ile s(A) = 60(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5) = 16 bulunur. Bu kümedeki elemanlar 2, 3, 5'e bölünmez. 7 ile aralarında asal olmayanlar 7'nin katlarıdır. 60'a kadar 7'nin katları: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56. Bunlardan 2, 3 veya 5'e bölünenleri eleyince geriye {7, 49} kalır. 16 - 2 = 14.
Tahmini Süre:2m 30s