Examkin

Soru

Zorluk: ZorKümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

Bir yabancı dil okulunda İngilizce (II), Almanca (AA) ve Fransızca (FF) kurslarına kayıtlı toplam 60 öğrenci bulunmaktadır. Her öğrenci bu kurslardan en az birine kayıtlıdır. Kursların mevcut öğrenci sayıları şöyledir:

s(I)=30,s(A)=28,s(F)=26s(I) = 30, \quad s(A) = 28, \quad s(F) = 26

Sadece iki kursa kayıtlı olan öğrenci sayısı, herhangi iki kurs çifti için birbirine eşittir (örneğin sadece İngilizce ve Almanca alanların sayısı, sadece İngilizce ve Fransızca alanlara eşittir).

Buna göre, yalnızca bir kursa kayıtlı olan öğrenci sayısı en çok kaçtır?

  1. A
    36
  2. B
    42
  3. C
    45
  4. 48Cevap
  5. E
    51

Cevap

Yalnızca bir kursa kayıtlı öğrenci sayısı en çok 48'dir.
Soruda 'yalnızca bir' kursa gidenlerin sayısının en çok olması istenmektedir. Toplam öğrenci sayısı 60'tır. Yalnızca bir kursa gidenleri bulmak için, birden fazla kursa gidenleri (sadece iki kursa gidenler + üç kursa da gidenler) toplamdan çıkarmalıyız.

Kümelerin eleman sayıları toplamı: 30+28+26=8430 + 28 + 26 = 84
Gerçek öğrenci sayısı: 6060
Fark (Mükerrer sayımlar): 84−60=2484 - 60 = 24

Bu 24 sayılık fark, sadece iki kursa gidenlerin 1'er kez, üç kursa gidenlerin 2'şer kez fazladan sayılmasından kaynaklanır.
Sadece iki kursa gidenlerin her bir ikili grup için sayısı kk, üç kursa gidenlerin sayısı mm olsun. Toplam 'sadece iki' kursa giden sayısı 3k3k olur.

Denklem: 1⋅(3k)+2⋅m=24⇒3k+2m=241 \cdot (3k) + 2 \cdot m = 24 \Rightarrow 3k + 2m = 24

Bizden istenen: 60−(3k+m)60 - (3k + m) ifadesinin maksimum olması.
Bu ifadenin maksimum olması için çıkarılan (3k+m)(3k + m) toplamının minimum olması gerekir.

Elimizdeki 3k+2m=243k + 2m = 24 denkleminden 3k=24−2m3k = 24 - 2m yazarız. Bunu minimize edilecek ifadede yerine koyalım:
Minimize edilecek: (24−2m)+m=24−m(24 - 2m) + m = 24 - m

24−m24 - m ifadesinin en küçük olması için mm (üç kursa da gidenler) mümkün olan en büyük değeri almalıdır. 3k=24−2m3k = 24 - 2m ve k≥0k \ge 0 olduğundan 24−2m≥0⇒m≤1224 - 2m \ge 0 \Rightarrow m \le 12 olmalıdır.

m=12m = 12 seçersek 3k=0⇒k=03k = 0 \Rightarrow k = 0 olur.
Bu durumda çıkarılan miktar: 3(0)+12=123(0) + 12 = 12.

Sonuç: 60−12=4860 - 12 = 48.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin eleman sayıları toplamı ile birleşim kümesi arasındaki ilişkiyi kur.
s(I)+s(A)+s(F)=84s(I) + s(A) + s(F) = 84. Toplam öğrenci sayısı 6060. Fark 84−60=2484 - 60 = 24.
Her bir öğrencinin kaç kez sayıldığını belirlemek için toplam kayıt sayısından gerçek kişi sayısını çıkarmalıyız.
2
Fazladan sayılan 24 kaydın, ikili ve üçlü kesişimlerden nasıl oluştuğunu denklemle ifade et.
Fazlalık = 1⋅s(Sadece 2)+2⋅s(Hepsi)1 \cdot s(\text{Sadece 2}) + 2 \cdot s(\text{Hepsi}). s(Sadece 2)=3ks(\text{Sadece 2}) = 3k (her çift için kk) ve s(Hepsi)=ms(\text{Hepsi}) = m olsun. Denklem: 3k+2m=243k + 2m = 24.
Sadece iki kursa gidenler toplama işleminde 1 kez fazladan, üç kursa gidenler ise 2 kez fazladan sayılır.
3
Yalnızca bir kursa gidenleri maksimize etmek için optimizasyon yap.
Yalnızca 1 kursa gidenler = 60−(3k+m)60 - (3k + m). Bu ifadeyi maksimize etmek için (3k+m)(3k + m) toplamını minimize etmeliyiz.
Toplam öğrenci sayısından birden fazla kursa gidenleri çıkarırsak, sadece tek kursa gidenleri buluruz.
4
3k+2m=243k + 2m = 24 şartını sağlayan ve 3k+m3k+m değerini en küçük yapan (k,m)(k, m) çiftini bul.
m=12m=12 seçilirse 3k=0⇒k=03k=0 \Rightarrow k=0 olur. Bu durumda çıkarılacak miktar 3(0)+12=123(0) + 12 = 12 olur. Sonuç 60−12=4860 - 12 = 48.
mm katsayısı denklemde daha büyük olduğu için, mm'yi mümkün olduğunca büyük seçmek toplam çıkarılan miktarı (3k+m3k+m) küçültür.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Kesişim Prensipleri
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru