Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Dizileri ve Örüntüler

Bir bakanlığın arşiv dijitalleştirme projesi kapsamında, sisteme yüklenen haftalık dosya sayısı belirli bir ikinci dereceden artış kuralına göre ilerlemektedir. Projenin ilk dört haftasında sisteme yüklenen dosya sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

HaftaDosya Sayısı
1.5
2.12
3.25
4.44

Bu artış kuralının değişmediği varsayıldığında, sisteme bir hafta içinde yüklenen dosya sayısının 400 adedi geçtiği ilk hafta aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    10. Hafta
  2. B
    11. Hafta
  3. 12. HaftaCevap
  4. D
    13. Hafta
  5. E
    14. Hafta

Cevap

400 adet dosya sınırının aşıldığı ilk hafta 12. haftadır.
Dizinin terimleri arasındaki farklar 7, 13, 19 şeklinde gitmekte olup, bu farklar kendi içinde 6'şar artmaktadır. Bu durum dizinin genel teriminin 3n2−2n+43n^2 - 2n + 4 olduğunu gösterir. Bu formülde n=12n=12 değeri yerine konulduğunda sonuç 412 çıkar ve bu değer ilk kez 400 sınırını aşmış olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen dizinin terimleri arasındaki farkları incele.
1. Hafta (5) -> 2. Hafta (12) artış: +7; 2. Hafta (12) -> 3. Hafta (25) artış: +13; 3. Hafta (25) -> 4. Hafta (44) artış: +19.
Dizinin yapısını (aritmetik, geometrik veya ikinci dereceden) anlamak için ardışık terim farklarına bakılmalıdır.
2
Artış miktarlarının değişimine (ikinci farklara) bakarak genel terim formülünü oluştur.
Farklar: 7, 13, 19... (Her adımda +6 artıyor). Sabit ikinci fark 6 olduğu için dizi ikinci dereceden (an2+bn+can^2+bn+c) bir dizidir. Genel terim 3n2−2n+43n^2 - 2n + 4 olarak bulunur.
İkinci farkı sabit olan dizilerin genel terimi ikinci dereceden fonksiyondur (2a=6⇒a=32a = 6 \Rightarrow a=3). n=1n=1 için 3(1)2+b(1)+c=53(1)^2+b(1)+c=5 eşitliğinden katsayılar bulunur.
3
Elde edilen 3n2−2n+4>4003n^2 - 2n + 4 > 400 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı değerini dene.
n=11n=11 için 3(121)−22+4=3453(121) - 22 + 4 = 345 (400'den küçük). n=12n=12 için 3(144)−24+4=432−24+4=4123(144) - 24 + 4 = 432 - 24 + 4 = 412 (400'den büyük).
Deneme yanılma veya yaklaşık kök bulma yöntemiyle sınır değeri aşan ilk tam sayı tespit edilir.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden (Karesel) Sayı Dizileri

İpuçları

1
Haftalar arasındaki artış miktarlarını (5 ile 12, 12 ile 25 arasındaki farkı) not edin.
2
Artış miktarlarının kendisi de sabit bir sayıyla (6) artmaktadır. Bu, genel terimin karesel (n2n^2) bir ifade olduğunu gösterir.
3
Genel terim 3n2−2n+43n^2 - 2n + 4 şeklindedir. nn yerine şıklardaki değerleri koyarak 400'ü geçen ilk sayıyı bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, azalan bir dizinin (örneğin stok tüketimi) ne zaman sıfırlanacağını soran problemler çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Formül bulmadan da artış miktarlarını (7, 13, 19, 25, 31...) sırasıyla ekleyerek ilerleyebilirsiniz: 4. Hafta=44, 5. Hafta=44+31=75 şeklinde devam ederek 400'ü bulana kadar toplayabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Dizileri ve Örüntüler

Bu konudan daha fazla soru