Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek ve Çift Sayılar

a,ba, b ve cc tam sayıları için,
* a2+aba^2 + ab ifadesinin bir çift sayı,
* b2+bcb^2 + bc ifadesinin bir tek sayı
olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima tek bir sayıdır?

  1. A
    a+ca + c
  2. B
    a⋅b+ca \cdot b + c
  3. C
    b⋅c+ab \cdot c + a
  4. a⋅c+ba \cdot c + bCevap
  5. E
    a+b⋅ca + b \cdot c

Cevap

a⋅c+ba \cdot c + b ifadesi daima tektir.
b(b+c)b(b+c) çarpımının tek olması için bb tek ve cc çift olmalıdır. a(a+b)a(a+b) ifadesi ise bb tek olduğunda aa tek olsa da çift olsa da çift sonuç vereceği için aa hakkında kesin bilgi yoktur. Ancak cc çift olduğu için a⋅ca \cdot c çarpımı her zaman çifttir ve tek olan bb ile toplandığında sonuç daima tek olur.

Adım Adım Çözüm

1
b2+bcb^2 + bc ifadesinin çarpanlarına ayrılarak incelenmesi
bb sayısının tek, cc sayısının çift olduğunun belirlenmesi
b2+bc=b(b+c)b^2 + bc = b(b + c) şeklinde yazılır. Bir çarpımın tek olması için tüm çarpanların tek olması gerekir. Dolayısıyla bb tektir ve b+cb + c tektir. bb tek ise cc çift olmalıdır.
2
a2+aba^2 + ab ifadesinin bb değeri yerine yazılarak analiz edilmesi
aa sayısının hem tek hem de çift olabileceğinin fark edilmesi
a2+ab=a(a+b)a^2 + ab = a(a + b) şeklinde yazılır. bb tek iken; eğer aa tek ise T×(T+T)=T×C\c=C\ciftT \times (T + T) = T \times Ç = Çift olur. Eğer aa çift ise C\c×(C\c+T)=C\c×T=C\ciftÇ \times (Ç + T) = Ç \times T = Çift olur. Bu durumda aa her iki değerini de alabilir.
3
a⋅c+ba \cdot c + b ifadesinin kesinlik testine tabi tutulması
İfadenin daima tek sonuç verdiğinin kanıtlanması
cc çift bir sayı olduğundan, aa ne olursa olsun a⋅ca \cdot c çarpımı daima çifttir. bb sayısı tek olduğu için C\cift+Tek=TekÇift + Tek = Tek kuralı gereği sonuç daima tektir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda çarpma ve toplama işlemlerinde teklik-çiftlik analizi ve çarpanlara ayırma yöntemi.

İpuçları

1
Öncelikle çarpım durumuna getirilebilen ifadeleri çarpanlarına ayırarak başlayın.
2
b(b+c)b(b+c) çarpımı tek ise hem bb hem de b+cb+c ifadesinin tek olması gerektiğini unutmayın.
3
a(a+b)a(a+b) ifadesinde bb tek iken aa'nın hem tek hem de çift olma durumlarını ayrı ayrı test edin.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin pozitif tam sayı olduğu belirtilseydi, üslü ifadelerin tabanlarının parity üzerindeki etkisini inceleyen benzer bir soru çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi kullanılabilir: b=1b=1 ve c=2c=2 (bu durumda b2+bc=1+2=3b^2+bc = 1+2=3 tek olur) seçilirse, a(a+1)a(a+1) çift olmalıdır. a=1a=1 ve a=2a=2 değerlerini seçeneklerde deneyerek her iki durumda da tek çıkan seçeneği bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru