Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKüme Problemleri

Bir kamu kurumunda düzenlenen yabancı dil muafiyet sınavına toplam 8080 personel katılmıştır. Bu personelin İngilizce ve Arapça dillerindeki başarı durumları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

- 1212 personel her iki dilden de başarısız olmuştur.
- İngilizce sınavından başarılı olanların sayısı, her iki sınavdan da başarılı olanların sayısının 33 katıdır.
- Sadece Arapça sınavından başarılı olanların sayısı, her iki sınavdan da başarılı olanların sayısından 88 fazladır.

Buna göre, bu grupta sadece İngilizce sınavından başarılı olan personel sayısı kaçtır?

  1. A
    1515
  2. B
    2323
  3. 3030Cevap
  4. D
    3838
  5. E
    4545

Cevap

Sadece İngilizce sınavından başarılı olan personel sayısı 3030 kişidir.
Verilen bilgilere göre oluşturulan Venn şemasında tüm kısımların toplamı olan 4x+84x + 8 ifadesi 6868 personeline eşittir. Buradan her iki dilden başarılı olanlar 1515 bulunurken, sadece İngilizce'den başarılı olanlar bunun iki katı yani 3030 kişi olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
En az bir dilden başarılı olan toplam personel sayısını bulun.
80−12=6880 - 12 = 68 personel en az bir sınavdan başarılı olmuştur.
Toplam personelden her iki dilden de başarısız olanlar çıkarılarak evrensel küme içindeki birleşim kümesinin eleman sayısı bulunur.
2
Küme elemanlarını bir değişken (xx) cinsinden tanımlayın.
Her iki dilden başarılı olanlar: xx. İngilizce'den başarılı olanlar: 3x3x. Sadece İngilizce'den başarılı olanlar: 3x−x=2x3x - x = 2x. Sadece Arapça'dan başarılı olanlar: x+8x + 8.
Soruda verilen oranları ve fazlalıkları matematiksel ifadeye dönüştürmek çözüm için gereklidir.
3
Bütün bölgeleri toplayarak toplam başarılı sayısına eşitleyin ve xx değerini bulun.
2x+x+(x+8)=68⇒4x+8=68⇒4x=60⇒x=152x + x + (x + 8) = 68 \Rightarrow 4x + 8 = 68 \Rightarrow 4x = 60 \Rightarrow x = 15.
Ayrık bölgelerin (sadece A, sadece B ve kesişim) toplamı birleşim kümesini verir.
4
İstenen 'sadece İngilizce' değerini hesaplayın.
2x=2×15=302x = 2 \times 15 = 30.
Soru kökünde sadece bir dile ait olan kısım sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim kümesi eleman sayısı, ayrık bölgelerin toplamı olarak ifade edilir: s(A∪B)=s(A∖B)+s(A∩B)+s(B∖A)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) + s(B \setminus A).

İpuçları

1
Her iki dilden başarısız olanları toplam sayıdan çıkararak işe başlayın.
2
Her iki dilden başarılı olanlara bir değişken atayıp Venn şeması çizin.
3
İngilizce başarılı olanlar 3x3x ise, sadece İngilizce başarılı olanların 2x2x olduğunu unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Üçlü küme problemlerinde 'en az' ve 'en çok' ifadelerinin kullanıldığı senaryoları inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizmeden, s(I˙)=3xs(İ) = 3x ve s(SadeceA)=x+8s(Sadece A) = x+8 diyerek; s(I˙)+s(SadeceA)=68s(İ) + s(Sadece A) = 68 eşitliğinden 3x+x+8=68⇒4x=60⇒x=153x + x + 8 = 68 \Rightarrow 4x = 60 \Rightarrow x = 15 bulabilir, ardından 3x−x3x - x farkından sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Problemleri

Bu konudan daha fazla soru