Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorAralarında Asal Sayılar
Aralarında asal olan xx ve yy pozitif tam sayıları için 2x+3y=842x + 3y = 84 eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, xx'in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
  1. 78Cevap
  2. B
    99
  3. C
    126
  4. D
    147
  5. E
    273

Cevap

x'in alabileceği değerler toplamı 78'dir.
Doğru cevap, xx ve yy'nin aralarında asal olma şartını sağlayan tüm kk değerlerinin dikkatlice belirlenmesiyle bulunur. 2x+3y=842x + 3y = 84 denklemi parametrik olarak x=3k,y=28−2kx=3k, y=28-2k şeklinde çözüldüğünde, EBOB(3k,28−2k)=1EBOB(3k, 28-2k)=1 şartını sağlayan kk değerleri sadece 1,3,91, 3, 9 ve 1313'tür. Bu değerlere karşılık gelen xx değerleri sırasıyla 3,9,273, 9, 27 ve 3939 olup toplamları 7878'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliği düzenleyerek değişkenler arasındaki bağıntıyı kur.
2x=84−3y⇒2x=3(28−y)2x = 84 - 3y \Rightarrow 2x = 3(28 - y). Bu eşitlikten xx'in 3'ün katı olması gerektiği anlaşılır (x=3kx=3k).
x ve y tam sayı olduğu için katsayılar arası bölünebilme ilişkisi kurulmalıdır.
2
x yerine 3k yazarak y'yi k cinsinden ifade et ve k'nın alabileceği aralığı bul.
2(3k)+3y=84⇒2k+y=28⇒y=28−2k2(3k) + 3y = 84 \Rightarrow 2k + y = 28 \Rightarrow y = 28 - 2k. y>0y > 0 olduğu için 28−2k>0⇒k<1428 - 2k > 0 \Rightarrow k < 14. Yani k∈{1,2,...,13}k \in \{1, 2, ..., 13\}.
Pozitif tam sayı şartını sağlamak için çözüm aralığı sınırlandırılmalıdır.
3
Aralarında asallık şartını (EBOB(x,y)=1EBOB(x, y) = 1) her k değeri için test et.
İncelenen çiftler: k=1→(3,26)k=1 \rightarrow (3, 26) (OK), k=3→(9,22)k=3 \rightarrow (9, 22) (OK), k=9→(27,10)k=9 \rightarrow (27, 10) (OK), k=13→(39,2)k=13 \rightarrow (39, 2) (OK). Diğerleri elenir.
x ve y aralarında asal olmalıdır. Çift sayılar (k çift ise), 3'ün katları (k=5, 11) ve 7'nin katları (k=7) elenmelidir.
4
Geçerli x değerlerini topla.
Geçerli x değerleri: 3, 9, 27, 39. Toplam: 3+9+27+39=783 + 9 + 27 + 39 = 78.
Sonuç istenen toplamı verir.

Anahtar Kavram

Bu soru, doğrusal Diophantine denklemlerinin çözümü ile aralarında asallık kavramının sentezini gerektirir. Sadece denklem çözmek yetmez, bulunan köklerin ortak bölen analizi (sieve/eleme yöntemi) yapılmalıdır.

İpuçları

1
Denklemi 2x=84−3y2x = 84 - 3y şeklinde yazarak xx'in hangi sayının katı olması gerektiğini düşünün.
2
x=3kx = 3k dönüşümü yaparak yy'yi kk cinsinden ifade edin ve kk'nın alabileceği en büyük değeri bulun.
3
x=3kx=3k ve y=28−2ky=28-2k bulduktan sonra, kk'nın 1'den 13'e kadar olan değerleri için xx ve yy'nin ortak böleni olup olmadığını tek tek kontrol edin (örneğin k=7 için x=21, y=14 olur).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla 3x−4y=603x - 4y = 60 denkleminde x+yx+y toplamının en küçük değerini soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Modüler aritmetik kullanarak: 2x≡−3y(modp)2x \equiv -3y \pmod p analiziyle hangi asal çarpanların (2, 3, 7) xx ve yy'yi aynı anda bölebileceğini baştan belirleyip o kk değerlerini eleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Aralarında Asal Sayılar

Bu konudan daha fazla soru