Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

xx bir gerçel sayı olmak üzere,

I. x3x^3 ve x2+xx^2 + x birer rasyonel sayı ise xx rasyonel sayıdır.
II. x4x^4 ve x6x^6 birer rasyonel sayı ise xx rasyonel sayıdır.
III. x2+2xx^2 + 2x bir rasyonel sayı ise xx rasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. Yalnız ICevap
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

Sadece I. öncül her zaman doğrudur.
I. öncülde verilen x3x^3 ve x2+xx^2+x ifadeleri kullanılarak xx değişkeni, rasyonel sayıların toplamı ve oranı şeklinde ifade edilebilmektedir. Paydayı sıfır yapan bir gerçel sayı bulunmadığı için xx her zaman rasyonel bir değer alır.

Adım Adım Çözüm

1
I. öncülün analizini yapalım.
x3=q1x^3 = q_1 ve x2+x=q2x^2 + x = q_2 olsun (q1,q2∈Qq_1, q_2 \in \mathbb{Q}). x2=q2−xx^2 = q_2 - x yazılıp x3x^3 ifadesinde yerine konulursa: x3=x⋅x2=x(q2−x)=q2x−x2=q2x−(q2−x)=(q2+1)x−q2x^3 = x \cdot x^2 = x(q_2 - x) = q_2x - x^2 = q_2x - (q_2 - x) = (q_2 + 1)x - q_2 elde edilir.
x3x^3 ifadesini rasyonel katsayılar ve xx cinsinden ifade etmek için.
2
xx değişkenini yalnız bırakalım.
x=q1+q2q2+1x = \frac{q_1 + q_2}{q_2 + 1} bulunur. Paydanın sıfır olması için x2+x=−1x^2 + x = -1 yani x2+x+1=0x^2 + x + 1 = 0 olmalıdır. Bu denklemin diskriminantı Δ=−3<0\Delta = -3 < 0 olduğundan hiçbir gerçel xx sayısı paydayı sıfır yapmaz. Dolayısıyla xx daima rasyoneldir.
Rasyonel sayıların birbirine oranı (payda sıfır değilse) rasyoneldir.
3
II. öncülü karşı örnekle inceleyelim.
x=2x = \sqrt{2} olsun. x4=4x^4 = 4 ve x6=8x^6 = 8 rasyonel sayılardır ancak x=2x = \sqrt{2} irrasyonel bir sayıdır.
Bir öncülün her zaman doğru olmadığını göstermek için tek bir karşı örnek yeterlidir.
4
III. öncülü karşı örnekle inceleyelim.
x=2−1x = \sqrt{2} - 1 olsun. x2+2x=(x+1)2−1=(2)2−1=1x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1 = (\sqrt{2})^2 - 1 = 1 rasyoneldir ancak x=2−1x = \sqrt{2} - 1 irrasyoneldir.
İkinci dereceden ifadelerin rasyonel olması değişkenin rasyonel olmasını garanti etmez.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayılar arasındaki işlemler ve kuvvet ilişkileri.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Bu konudan daha fazla soru