Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasamak Analizi ve Çözümleme

xx, yy ve zz sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar ve x>y>zx > y > z olmak üzere;

xyz+yzx+zxy=1665xyz + yzx + zxy = 1665

eşitliği veriliyor. Buna göre, bu koşulları sağlayan en büyük iki basamaklı xyxy doğal sayısı kaçtır?
  1. A
    86
  2. B
    94
  3. 95Cevap
  4. D
    96
  5. E
    97

Cevap

En büyük xyxy sayısı 95'tir.
Verilen eşitlik çözümlendiğinde 111(x+y+z)=1665111(x+y+z) = 1665 elde edilir, buradan x+y+z=15x+y+z=15 bulunur. xyxy sayısının en büyük olması için onlar basamağı xx en büyük seçilmelidir (x=9x=9). Kalan y+z=6y+z=6 toplamı için, y>zy>z ve z≠0z \neq 0 koşulunu sağlayan en büyük yy değeri aranır. (5,1)(5,1) ikilisi bu şartları sağlar (9>5>19>5>1). Böylece en büyük sayı 95 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen üç basamaklı sayıları çözümleyerek toplamı x,y,zx, y, z cinsinden ifade et.
xyz+yzx+zxy=(100x+10y+z)+(100y+10z+x)+(100z+10x+y)=111(x+y+z)xyz + yzx + zxy = (100x+10y+z) + (100y+10z+x) + (100z+10x+y) = 111(x+y+z)
Basamak analizi problemlerinde sayıları çözümleyerek rakamlar arası ilişkiyi bulmak temel adımdır.
2
Elde edilen denklemi çözerek rakamların toplamını bul.
111(x+y+z)=1665  ⟹  x+y+z=1665111=15111(x+y+z) = 1665 \implies x+y+z = \frac{1665}{111} = 15
Rakamların toplamını bulmak, olası (x,y,z)(x, y, z) üçlülerini belirlemek için gereklidir.
3
xyxy sayısının en büyük olması için xx ve yy'yi maksimize et.
xx en büyük rakam olan 9 olsun. Bu durumda y+z=15−9=6y+z = 15-9 = 6 olur.
İki basamaklı sayının değeri onlar basamağına (xx) daha çok bağlıdır, bu yüzden önce xx maksimize edilir.
4
x>y>zx>y>z ve z≠0z \neq 0 koşullarına uygun (y,z)(y, z) ikililerini kontrol et.
y+z=6y+z=6 ve y>zy>z için olası ikililer: (5,1)(5,1) ve (4,2)(4,2)'dir. yy en çok 5 olabilir. Bu durumda z=1z=1 olur. Koşullar (9>5>19>5>1 ve hepsi sıfırdan farklı) sağlanır.
En büyük xyxy sayısı için x=9x=9 iken mümkün olan en büyük yy değeri seçilmelidir.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme

İpuçları

1
Üç basamaklı sayıları xyz=100x+10y+zxyz = 100x + 10y + z şeklinde çözümleyerek toplayınız.
2
Toplama işleminde x,yx, y ve zz'nin katsayılarının eşit olduğunu fark edip paranteze alınız: 111(x+y+z)111(x+y+z).
3
x+y+z=15x+y+z=15 bulunduktan sonra, x>y>zx > y > z şartını sağlayan ve xx'i (sonra da yy'yi) en büyük yapan değerleri deneyiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer kısıtlamalarla en küçük xyzxyz sayısını soran bir problem çözerek eşitsizlik mantığını pekiştirin.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Basamak Analizi ve Çözümleme

Bu konudan daha fazla soru