Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasamak Analizi ve Çözümleme

AA, BB ve CC sıfırdan farklı, birbirinden farklı rakamlar ve A>B>CA > B > C olmak üzere; üç basamaklı ABCABC ve CBACBA doğal sayıları ile iki basamaklı ABAB, BCBC ve CACA doğal sayıları arasında

ABC−CBA=AB+BC+CAABC - CBA = AB + BC + CA

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, A⋅B⋅CA \cdot B \cdot C çarpımı kaçtır?
  1. A
    12
  2. B
    24
  3. C
    126
  4. D
    192
  5. 210Cevap

Cevap

Verilen şartları sağlayan ABCABC sayısı 765765 olup rakamları çarpımı 210210 olur.
Verilen denklemin çözümlenmiş hali 9(A−C)=A+B+C9(A-C) = A+B+C şeklindedir. Buradan 8A−10C=B8A - 10C = B bağıntısı elde edilir. A>B>CA > B > C şartını sağlayan tek rakam üçlüsü A=7A=7, B=6B=6 ve C=5C=5 olup çarpımları 210210 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Sayıların basamak çözümlemesinin yapılması
99(A−C)=11(A+B+C)99(A - C) = 11(A + B + C)
ABC−CBA=(100A+10B+C)−(100C+10B+A)=99A−99CABC - CBA = (100A+10B+C) - (100C+10B+A) = 99A - 99C ve AB+BC+CA=(10A+B)+(10B+C)+(10C+A)=11A+11B+11CAB+BC+CA = (10A+B) + (10B+C) + (10C+A) = 11A+11B+11C şeklindedir.
2
Eşitliğin sadeleştirilmesi ve düzenlenmesi
8A−10C=B8A - 10C = B
99(A−C)=11(A+B+C)99(A-C) = 11(A+B+C) ifadesi 11 ile sadeleşince 9A−9C=A+B+C9A - 9C = A+B+C olur, buradan BB yalnız bırakılır.
3
Rakam ve büyüklük şartlarına (A>B>CA > B > C) göre değerlerin denenmesi
A=7,B=6,C=5A=7, B=6, C=5
A−C=2A-C=2 için 16−2C=B16-2C=B denkleminde C=5C=5 yazıldığında B=6B=6 ve A=7A=7 bulunur. Bu durumda 7>6>57 > 6 > 5 şartı sağlanır.
4
İstenen çarpımın hesaplanması
7⋅6⋅5=2107 \cdot 6 \cdot 5 = 210
Soruda rakamların çarpımı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Basamak analizi sorularında çözümleme yapıldıktan sonra elde edilen denklemde rakamların kısıtları (sıfırdan farklı olma, birbirinden farklı olma, büyüklük sıralaması) mutlaka kontrol edilmelidir.
Bu soruyu puanla

Konular

Basamak Analizi ve Çözümleme

Bu konudan daha fazla soru