Examkin

Soru

Zorluk: ZorAralarında Asal Sayılar

xx ve yy aralarında asal pozitif tam sayılardır.

x+60y=12x + \frac{60}{y} = 12

olduğuna göre, xx'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    18
  2. B
    24
  3. 35Cevap
  4. D
    41
  5. E
    53

Cevap

x'in alabileceği değerlerin toplamı 35'tir.
Verilen denklemde x'in pozitif tam sayı olması için y'nin 5'ten büyük ve 60'ı bölen bir sayı olması gerekir. Olası (x,y) ikilileri incelendiğinde; (2,6) ve (6,10) gibi çiftlerin ortak bölenleri olduğu için aralarında asal değildir. Ancak (7,12), (8,15), (9,20) ve (11,60) çiftleri aralarında asaldır. Bu durumda x'in alabileceği değerler 7, 8, 9 ve 11 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitlikte x'i yalnız bırakarak y'nin özelliklerini belirle.
x=12−60yx = 12 - \frac{60}{y}
x'in tam sayı olabilmesi için y'nin 60'ı tam bölmesi gerekir.
2
x ve y'nin pozitif tam sayı olması şartını kullanarak y'nin alabileceği değer aralığını bul.
x>0⇒12−60y>0⇒12>60y⇒y>5x > 0 \Rightarrow 12 - \frac{60}{y} > 0 \Rightarrow 12 > \frac{60}{y} \Rightarrow y > 5
x pozitif bir tam sayı olduğu için 0 veya negatif olamaz.
3
y için 5'ten büyük olan 60'ın bölenlerini listele ve her biri için x değerini hesapla.
y adayları: 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Buna karşılık gelen x değerleri sırasıyla: 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
Tüm potansiyel (x, y) ikililerini oluşturmak için.
4
Her ikili için 'aralarında asal' olma şartını kontrol et.
Geçerli ikililer: (7, 12), (8, 15), (9, 20), (11, 60).
Soruda verilen 'aralarında asal' şartını sağlamayanları elemek için.
5
Şartı sağlayan x değerlerini topla.
7+8+9+11=357 + 8 + 9 + 11 = 35
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Aralarında Asal Sayılar

İpuçları

1
Denklemde x'i yalnız bırakın: x=12−60yx = 12 - \frac{60}{y}. x'in pozitif tam sayı olması için y hangi değerleri alabilir?
2
y sayısı 60'ın böleni olmalıdır, ancak x > 0 olduğu için 60y<12\frac{60}{y} < 12 şartı sağlanmalıdır. Yani y > 5 olmalıdır.
3
Bulduğunuz (x, y) çiftlerinin her biri için EBOB(x, y) = 1 olup olmadığını kontrol edin. Örneğin x=2 ve y=6 için EBOB 2'dir, bu yüzden bu çözüm geçersizdir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla 'a ve b aralarında asal, a.b = 72 ise a+b kaç farklı değer alır?' sorusu çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Aralarında Asal Sayılar

Bu konudan daha fazla soru