Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇokgenler

Bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsünün 5 katıdır.

Buna göre, bu çokgenin herhangi bir köşesinden çizilen en kısa köşegen ile en uzun köşegen arasında kalan açının ölçüsü kaç derecedir?

  1. A
    45
  2. B
    50
  3. C
    54
  4. 60Cevap
  5. E
    75

Cevap

En kısa ve en uzun köşegen arasındaki açı 60 derecedir.
İç açısı dış açısının 5 katı olan düzgün çokgen 12 kenarlıdır (dış açı 30∘30^{\circ}). Bir köşeden çizilen en kısa köşegen, yanındaki kenar ile 15∘15^{\circ}'lik açı yapar (180−150=30180-150=30, ikizkenar üçgen taban açısı 15). En uzun köşegen ise iç açıyı (150∘150^{\circ}) ortalar ve kenar ile 75∘75^{\circ}'lik açı yapar. Bu iki köşegen arasındaki açı farkı 75−15=60∘75 - 15 = 60^{\circ} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dış açıya xx diyerek iç ve dış açı bağıntısını kur.
Dış açı =x= x, İç açı =5x= 5x. Toplamları 6x=180∘6x = 180^{\circ} olduğundan x=30∘x = 30^{\circ}.
Bir çokgenin aynı köşesindeki iç ve dış açının toplamı 180 derecedir.
2
Çokgenin kenar sayısını (nn) hesapla.
n=36030=12n = \frac{360}{30} = 12. Çokgen bir düzgün onikigendir.
Düzgün çokgenin kenar sayısı n=360Dıs¸ Ac¸ın = \frac{360}{\text{Dış Açı}} formülü ile bulunur.
3
Bir köşeden çıkan köşegenlerin ayırdığı birim açı miktarını bul.
Birim açı (çevrel çemberde bir kenarı gören çevre açı) =18012=15∘= \frac{180}{12} = 15^{\circ}.
Düzgün çokgenin bir köşesinden çizilen tüm köşegenler, o köşedeki iç açıyı n−2n-2 eşit parçaya böler. Her parça 180n\frac{180}{n} derecedir.
4
Köşegenleri tanımla ve aradaki açıyı hesapla.
En kısa köşegen 1 kenar atlar (1 birim açı = 15∘15^{\circ}). En uzun köşegen (merkezden geçen) 5 kenar atlar (5 birim açı = 5×15=75∘5 \times 15 = 75^{\circ}). Aradaki açı: 75∘−15∘=60∘75^{\circ} - 15^{\circ} = 60^{\circ}.
İstenen açı, iki köşegenin kenar ile yaptığı açıların farkıdır.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde bir köşeden çizilen köşegenlerin, o köşedeki iç açıyı eşit parçalara bölmesi ve bu parçaların her birinin 180n\frac{180}{n} derece olması.

İpuçları

1
Önce dış açıyı xx, iç açıyı 5x5x olarak kabul edip çokgenin kaç kenarlı olduğunu bulunuz.
2
Çokgen 12 kenarlıdır. Bir köşeden çıkan en kısa köşegen, kendisine komşu iki kenar ile bir ikizkenar üçgen oluşturur.
3
En uzun köşegen, 12 kenarlı düzgün çokgenin iç açısını (150∘150^{\circ}) tam ortadan böler. En kısa köşegen ise bu açının ucundan 15∘15^{\circ}'lik bir parça ayırır.

Alternatif Yöntem

Çevrel çember mantığı ile çözüm: Her bir kenar, merkezde 30∘30^{\circ}'lik yay görür. En kısa köşegen 1 kenarı geride bırakır, en uzun köşegen (çap) 6 kenarı geride bırakır. Aralarındaki yay farkı 4 kenardır. Çevre açı, gördüğü yayların (4 kenar ×30∘=120∘\times 30^{\circ} = 120^{\circ}) yarısına eşittir: 120/2=60∘120/2 = 60^{\circ}.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çokgenler

Bu konudan daha fazla soru