Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek ve Çift Sayılar
x,yx, y ve zz tam sayıları için
5xy+43=z\frac{5xy + 4}{3} = z
eşitliği sağlandığına göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?
  1. A
    x+y+zx + y + z
  2. B
    x+yx + y
  3. C
    x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z
  4. x⋅y+zx \cdot y + zCevap
  5. E
    x+zx + z

Cevap

x⋅y+zx \cdot y + z ifadesi daima çift sayıdır.
Verilen denklemde 5xy+4=3z5xy + 4 = 3z eşitliği kurulduğunda, 4 çift olduğu için 5xy5xy ile 3z3z aynı tekliğe/çiftliğe sahip olmalıdır. Çarpanlardaki 5 ve 3 tek sayı oldukları için xyxy ile zz ifadelerinin karakteristiğini değiştirmezler. Bu durumda xyxy tek ise zz de tek, xyxy çift ise zz de çift olur. İki aynı karakterdeki sayının (her ikisi de tek veya her ikisi de çift) toplamı olan x⋅y+zx \cdot y + z ifadesi her zaman çift sonuç verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadeyi içler dışlar çarpımı yaparak düzenleyelim.
5xy+4=3z5xy + 4 = 3z
Eşitliğin her iki tarafındaki terimlerin tekliğini ve çiftliğini analiz edebilmek için rasyonel ifadeden kurtulmak gerekir.
2
3z3z ifadesinin ve 5xy+45xy + 4 ifadesinin teklik-çiftlik durumlarını inceleyelim.
Eğer xyxy tek ise, 5xy+45xy + 4 tektir, dolayısıyla 3z3z de tektir (zz tek olur). Eğer xyxy çift ise, 5xy+45xy + 4 çifttir, dolayısıyla 3z3z de çifttir (zz çift olur).
4 sayısı çift bir sayı olduğu için, sonucun tekliğini 5xy5xy terimi belirler; benzer şekilde 3 tek bir sayı olduğu için 3z3z ifadesinin tekliğini zz belirler.
3
Seçenekleri elde edilen xy≡z(mod2)xy \equiv z \pmod 2 bağıntısına göre test edelim.
x⋅yx \cdot y ile zz aynı tekliğe veya çiftliğe sahipse (ikisi de tek veya ikisi de çift), toplamları (x⋅y+zx \cdot y + z) daima çift olur.
İki tek sayının toplamı çift, iki çift sayının toplamı da çifttir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda Temel İşlemler

İpuçları

1
Denklemi önce 5xy+4=3z5xy + 4 = 3z şeklinde yazarak rasyonel ifadeden kurtulmayı dene.
2
Eşitlikte 4 çift, 5 ve 3 ise tek sayılardır. Bu durum xyxy ile zz arasında nasıl bir ilişki kurmanı sağlar?
3
xyxy ve zz ifadelerinin her zaman aynı türden (ikisi de tek ya da ikisi de çift) olması gerektiğini fark ettiğinde, toplamlarının sonucunu düşün.

Daha Fazla Pratik

İçinde rasyonel ifade barındıran tek-çift sayı sorularında her zaman önce içler dışlar çarpımı yaparak tam sayı eşitliği elde etmeye odaklanmalısın.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemini kullanarak hızlıca eleme yapabilirsin: x=1,y=1x=1, y=1 için z=3z=3 olur. Bu değerleri şıklarda yerine koyup tek çıkanları eleyebilirsin. Ardından x=1,y=4x=1, y=4 için z=8z=8 değerlerini deneyerek kalan seçenekleri test edebilirsin.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru