Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

AA ve BB, boş kümeden farklı iki kümedir.

A∖BA \setminus B kümesinin alt küme sayısı 6464'tür.

s(A∪B)=4⋅s(A∩B)s(A \cup B) = 4 \cdot s(A \cap B)

Eşitliği ve s(A)>s(B)s(A) > s(B) eşitsizliği sağlandığına göre, AA kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır?

  1. A
    8
  2. 9Cevap
  3. C
    10
  4. D
    12
  5. E
    15

Cevap

AA kümesinin eleman sayısı en çok 99 olabilir.
Verilen alt küme sayısından s(A∖B)=6s(A \setminus B)=6 bulunur. s(A∩B)=xs(A \cap B) = x denildiğinde, verilen eşitlikten s(B∖A)=3x−6s(B \setminus A) = 3x - 6 elde edilir. B∖AB \setminus A kümesinin eleman sayısı negatif olamayacağı için x≥2x \ge 2 olmalıdır. Ayrıca s(A)>s(B)s(A) > s(B) koşulunun sağlanması için x<4x < 4 olması gerekir. Bu iki koşulu sağlayan en büyük xx tam sayısı 33'tür. Buradan s(A)=6+3=9s(A) = 6 + 3 = 9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A∖BA \setminus B kümesinin eleman sayısını belirle.
2s(A∖B)=64  ⟹  s(A∖B)=62^{s(A \setminus B)} = 64 \implies s(A \setminus B) = 6
Alt küme sayısı formülü (2n2^n) kullanılarak eleman sayısı bulunur.
2
Kümeler için bilinmeyenleri tanımla ve birleşim formülünü oluştur.
s(A∩B)=xs(A \cap B) = x ve s(B∖A)=ys(B \setminus A) = y olsun. s(A∪B)=6+x+ys(A \cup B) = 6 + x + y.
Birleşim kümesi, ayrık üç bölgenin toplamıdır: fark kümeleri ve kesişim.
3
Verilen eşitliği kullanarak yy'yi xx cinsinden ifade et.
6+x+y=4x  ⟹  y=3x−66 + x + y = 4x \implies y = 3x - 6
Problemde verilen s(A∪B)=4⋅s(A∩B)s(A \cup B) = 4 \cdot s(A \cap B) eşitliği denklem haline getirilir.
4
xx için alt ve üst sınırları belirle.
1. y≥0  ⟹  3x−6≥0  ⟹  x≥2y \ge 0 \implies 3x - 6 \ge 0 \implies x \ge 2. 2. s(A)>s(B)  ⟹  6+x>x+y  ⟹  6>ys(A) > s(B) \implies 6 + x > x + y \implies 6 > y. y=3x−6y = 3x - 6 yerine konulursa 6>3x−6  ⟹  12>3x  ⟹  x<46 > 3x - 6 \implies 12 > 3x \implies x < 4.
Eleman sayısı negatif olamaz ve sorudaki s(A)>s(B)s(A) > s(B) kısıtlaması sağlanmalıdır.
5
xx'in alabileceği tam sayı değerlerini bul ve s(A)s(A)'yı maksimize et.
2≤x<42 \le x < 4 olduğu için xx tamsayı olarak 22 veya 33 olabilir. En çok dendiği için x=3x=3 seçilir. s(A)=6+x=6+3=9s(A) = 6 + x = 6 + 3 = 9.
s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) olduğu için xx ne kadar büyükse s(A)s(A) o kadar büyük olur.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim ve kesişim formülleri ile eşitsizlik analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru