Examkin

Soru

Zorluk: ZorBirinci Dereceden Denklemler
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı
2x−ax−2+x+1x=3 \frac{2x - a}{x - 2} + \frac{x + 1}{x} = 3
denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    4
  2. B
    5
  3. C
    7
  4. 9Cevap
  5. E
    11

Cevap

Doğru cevap 9'dur.
Denklemin çözüm kümesinin boş olması için ya xx'li terimin katsayısı sıfır olup eşitlik sağlanmamalı (0x=k0x=k) ya da bulunan xx değeri paydayı sıfır yaptığı için atılmalıdır. (5−a)x=2(5-a)x=2 denkleminde a=5a=5 için 0=20=2 çelişkisi doğar (1. değer). Paydayı sıfır yapan x=2x=2 değeri denklemde yerine konduğunda a=4a=4 bulunur (2. değer). Değerler toplamı 5+4=95+4=9 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel denklemde paydalar eşitlenerek içler dışlar çarpımı yapılır.
x(2x−a)+(x−2)(x+1)=3x(x−2)x(2x - a) + (x - 2)(x + 1) = 3x(x - 2)
Rasyonel ifadeden kurtulup doğrusal denkleme ulaşmak için.
2
İfade düzenlenerek xx değişkenine bağlı birinci dereceden denklem formatına (Ax=BAx = B) getirilir.
2x2−ax+x2−x−2=3x2−6x2x^2 - ax + x^2 - x - 2 = 3x^2 - 6x ⇒\Rightarrow 3x2−(a+1)x−2=3x2−6x3x^2 - (a+1)x - 2 = 3x^2 - 6x ⇒\Rightarrow (5−a)x=2(5-a)x = 2
Çözüm kümesini analiz edebilmek için xx yalnız bırakılmalı veya katsayısı incelenmelidir.
3
Çözüm kümesinin boş küme olması için gereken 1. durumu (Katsayı sıfır, sonuç imkansız) incele.
5−a=0⇒a=55-a = 0 \Rightarrow a = 5. Bu durumda 0=20 = 2 çelişkisi elde edilir, çözüm yoktur.
0x=k0x = k (k≠0k\neq0) durumu çözüm kümesini boş yapar.
4
Çözüm kümesinin boş küme olması için gereken 2. durumu (Bulunan kökün paydayı tanımsız yapması) incele.
Paydayı 0 yapan değerler x=0x=0 ve x=2x=2'dir. Denklemde yerine koyarsak: x=2x=2 için (5−a)⋅2=2⇒5−a=1⇒a=4(5-a)\cdot 2 = 2 \Rightarrow 5-a=1 \Rightarrow a=4. (x=0x=0 için 0=20=2 imkansızdır, çözüm gelmez).
Cebirsel olarak bulunan kök, orijinal denklemin paydasını 0 yapıyorsa çözüm kümesine dahil edilemez.
5
Bulunan aa değerlerini topla.
5+4=95 + 4 = 9
Soruda aa'nın alabileceği değerler toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Rasyonel denklemlerin çözüm kümesi boş ise iki durum vardır: 1) Değişkenin katsayısı sıfırdır ve çelişki oluşur. 2) Bulunan kök paydayı tanımsız yaptığı için çözüm kümesinden çıkarılır.
Bu soruyu puanla

Konular

Birinci Dereceden Denklemler

Bu konudan daha fazla soru