Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAralarında Asal Sayılar
aa ve bb aralarında asal pozitif tam sayılardır.
a⋅b+2a=60a \cdot b + 2a = 60
olduğuna göre, a+ba + b toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    82
  2. 97Cevap
  3. C
    112
  4. D
    127
  5. E
    156

Cevap

Aralarında asallık şartını sağlayan farklı toplamlar 59, 17 ve 21 olduğundan bu değerlerin toplamı 97'dir.
Verilen denklemi a(b+2)=60a(b+2) = 60 şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda, aa ve bb değerlerini sistematik olarak inceleyebiliriz. bb pozitif tam sayı olduğu için aa değeri 6060'ın 2020 veya daha küçük bir böleni olmalıdır. Bu şartları sağlayan ve aralarında asal olan (a,b)(a, b) ikilileri (1,58)(1, 58), (4,13)(4, 13), (15,2)(15, 2) ve (20,1)(20, 1) olarak bulunur. Bu ikililerden elde edilen farklı a+ba+b toplamları {59,17,21}\{59, 17, 21\} kümesidir. Bu değerlerin toplamı 59+17+21=9759+17+21 = 97 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemi ortak çarpan parantezine alarak düzenleyin.
a(b+2)=60a(b + 2) = 60
Değişkenlerin alabileceği değerleri 60'ın bölenleri üzerinden daha kolay analiz etmek için.
2
bb pozitif tam sayı (b≥1b \geq 1) olduğu için b+2b+2 ifadesinin alabileceği değerleri belirleyin.
b≥1  ⟹  b+2≥3b \geq 1 \implies b+2 \geq 3 olmalıdır. Buna göre aa, 6060'ın 2020 ve daha küçük pozitif bölenleri olabilir.
bb'nin pozitif tam sayı olma sınırını belirlemek için.
3
aa değerlerine göre bb değerlerini hesaplayın ve aralarında asallık şartını kontrol edin.
- a=1  ⟹  b=58a=1 \implies b=58 (EBOB(1, 58)=1, Uygundur)   ⟹  a+b=59\implies a+b=59
- a=2  ⟹  b=28a=2 \implies b=28 (EBOB(2, 28)=2, Uygun değil)
- a=3  ⟹  b=18a=3 \implies b=18 (EBOB(3, 18)=3, Uygun değil)
- a=4  ⟹  b=13a=4 \implies b=13 (EBOB(4, 13)=1, Uygundur)   ⟹  a+b=17\implies a+b=17
- a=5  ⟹  b=10a=5 \implies b=10 (EBOB(5, 10)=5, Uygun değil)
- a=6  ⟹  b=8a=6 \implies b=8 (EBOB(6, 8)=2, Uygun değil)
- a=10  ⟹  b=4a=10 \implies b=4 (EBOB(10, 4)=2, Uygun değil)
- a=12  ⟹  b=3a=12 \implies b=3 (EBOB(12, 3)=3, Uygun değil)
- a=15  ⟹  b=2a=15 \implies b=2 (EBOB(15, 2)=1, Uygundur)   ⟹  a+b=17\implies a+b=17
- a=20  ⟹  b=1a=20 \implies b=1 (EBOB(20, 1)=1, Uygundur)   ⟹  a+b=21\implies a+b=21
Hangi ikililerin 'aralarında asal' tanımına uyduğunu tespit etmek için.
4
Elde edilen farklı a+ba+b değerlerini toplayın.
59+17+21=9759 + 17 + 21 = 97
Soruda istenen 'farklı değerlerin toplamı' sonucuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki sayının 1'den başka ortak pozitif böleni yoksa bu sayılar aralarında asaldır.

İpuçları

1
Denklemi a(b+2)=60a(b+2) = 60 şeklinde yazarak aa ve b+2b+2 sayılarını 6060'ın çarpanları üzerinden inceleyin.
2
bb sayısının pozitif tam sayı olması gerektiğini unutmayın; yani b+2b+2 en az 33 olabilir.
3
Bulduğunuz her (a,b)(a, b) çifti için EBOB(a,b)=1EBOB(a, b) = 1 olup olmadığını mutlaka kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla x⋅y−3x=12x \cdot y - 3x = 12 denklemini aralarında asal xx ve yy pozitif tam sayıları için çözmeyi deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Aralarında Asal Sayılar

Bu konudan daha fazla soru