Examkin

Soru

Zorluk: ZorKüme Problemleri

Bir kamu kurumunun ihale komisyonu tarafından incelenen 80 adet hizmet alım dosyasında; "Teminat Mektubu", "İş Bitirme Belgesi" ve "Personel Taahhüdü" olmak üzere üç farklı eksiklik türü tespit edilmiştir.

Eksikliklerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Personel taahhüdü eksikliği bulunan her dosyada, aynı zamanda İş bitirme belgesi eksikliği de bulunmaktadır.
* Teminat mektubu eksikliği bulunan dosyaların hiçbirinde Personel taahhüdü eksikliği yoktur.
* Sadece tek tür eksikliği bulunan dosya sayısı, tam olarak iki tür eksikliği bulunan dosya sayısının 3 katıdır.
* Teminat mektubu eksikliği bulunan toplam dosya sayısı, İş bitirme belgesi eksikliği bulunan toplam dosya sayısına eşittir.

Sadece İş bitirme belgesi eksikliği olan dosya sayısı, Personel taahhüdü eksikliği olan dosya sayısından 12 fazladır.

Buna göre, sadece Teminat mektubu eksikliği bulunan dosya sayısı kaçtır?

  1. A
    12
  2. B
    24
  3. 36Cevap
  4. D
    44
  5. E
    48

Cevap

Sadece Teminat mektubu eksikliği bulunan dosya sayısı 36'dır.
Verilen koşullara göre, Personel taahhüdü eksikliği (P) İş bitirme belgesi eksikliğinin (İ) alt kümesidir (P⊂I˙P \subset İ). Teminat mektubu (T) ile P ayrıktır. Bu yapı kurulup denklem sistemi çözüldüğünde, sadece Teminat mektubu eksikliği olan dosya sayısı (xx) 36 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri ve bölgeleri harflendir.
T: Teminat, İ: İş Bitirme, P: Personel.
Sadece T olanlar: xx
Sadece İ olanlar: yy
Sadece P olanlar: ∅\emptyset (P, İ'nin alt kümesi olduğu için P'deki her eleman aynı zamanda İ'dedir, yani 2 eksikliği vardır)
T ve İ kesişimi (sadece): zz
P kümesi (P ve İ kesişimi): tt
Problemdeki 'alt küme' ve 'ayrık küme' ilişkilerini matematiksel modele dökmek için.
2
Verilen ilişkileri denklemlere dönüştür.
1. Toplam dosya: x+y+z+t=80x + y + z + t = 80
2. Tek tür eksiklik (x+yx+y) = 3 * İki tür eksiklik (z+tz+t)
3. n(T)=n(I˙)⇒x+z=y+z+t⇒x=y+tn(T) = n(İ) \Rightarrow x + z = y + z + t \Rightarrow x = y + t
4. y=t+12y = t + 12
Sözel ifadeleri cebirsel eşitliklere çevirmek.
3
Denklem sistemini çöz.
(x+y)=3(z+t)(x+y) = 3(z+t) ve toplam 80 ise ⇒4(z+t)=80⇒z+t=20\Rightarrow 4(z+t) = 80 \Rightarrow z+t=20.
Bu durumda x+y=60x+y=60.
x=y+tx = y+t denklemini x+y=60x+y=60'ta yerine koy: (y+t)+y=60⇒2y+t=60(y+t) + y = 60 \Rightarrow 2y + t = 60.
Bilinmeyen sayısını azaltarak çözüme gitmek.
4
İki bilinmeyenli denklemi çözerek xx'i bul.
2y+t=602y + t = 60 ve y−t=12y - t = 12.
Taraf tarafa topla: 3y=72⇒y=243y = 72 \Rightarrow y = 24.
t=12t = 12.
x=y+t=24+12=36x = y + t = 24 + 12 = 36.
Soruda istenen 'Sadece Teminat mektubu eksikliği' (xx) değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Kümelerde Alt Küme ve Ayrık Küme Problemleri

İpuçları

1
Kümeleri çizerken 'Personel' kümesini 'İş Bitirme' kümesinin içine çizin. 'Teminat' kümesi ile 'Personel' kümesinin kesişmediğine dikkat edin.
2
Toplam dosya sayısını bölgelere ayırın: Sadece T (xx), Sadece İ (yy), T ve İ kesişimi (zz), P kümesi (tt). P kümesindeki elemanların hem P hem İ özelliğine sahip olduğunu (yani 2 eksiklik sayıldığını) unutmayın.
3
x+y=3(z+t)x+y = 3(z+t) ve x+y+z+t=80x+y+z+t=80 denklemlerini kullanarak önce x+yx+y ve z+tz+t toplamlarını bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, 'Her üç eksikliğin de bulunduğu' bir durum ekleyerek ve toplam sayıyı değiştirerek çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Toplam 80 dosya var. Tek tür eksiklik (AA) ve iki tür eksiklik (BB) olsun. A=3BA = 3B ve A+B=80A+B=80 ise 4B=80⇒B=20,A=604B=80 \Rightarrow B=20, A=60. n(T)=n(I˙)n(T)=n(İ) olduğundan ve simetriden yola çıkarak, fark denklemiyle (y−t=12y-t=12) yerine koyma yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Problemleri

Bu konudan daha fazla soru