Examkin

Soru

Zorluk: ZorRutin Olmayan Problemler

Rakamları sıfırdan farklı üç basamaklı bir nn doğal sayısı için T(n)T(n) fonksiyonu, nn sayısının rakamlarının çarpımı olarak tanımlanmaktadır.

T(T(x))=12T(T(x)) = 12

eşitliğini sağlayan en küçük xx sayısının rakamları toplamı kaçtır?
  1. A
    14
  2. B
    16
  3. 18Cevap
  4. D
    20
  5. E
    22

Cevap

Rakamları toplamı 18 olan seçenek doğrudur.
Soruyu çözmek için sondan başa doğru gidilmelidir. T(y)=12T(y)=12 şartını sağlayan ve aynı zamanda bir x sayısının rakamları çarpımı (y=T(x)y=T(x)) olabilecek en küçük yapı aranır. Rakamları çarpımı 12 olan sayılar incelendiğinde (26, 34, 43, 126...), asal çarpanları tek basamaklı sayılardan oluşan en küçük uygun adayın 126 olduğu görülür (126=2×7×9126 = 2 \times 7 \times 9). Bu çarpımı veren rakamlarla yazılabilecek en küçük x sayısı 279'dur. Rakamları toplamı ise 2+7+9=182+7+9=18 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Soruyu sondan başa doğru analiz et.
T(y) = 12 olacak şekilde bir y sayısı (y = T(x)) bulunmalıdır.
Fonksiyon iç içe tanımlandığı için önce dıştaki T işlemi çözülmelidir.
2
Rakamları çarpımı 12 olan y sayılarını belirle. y değeri en fazla 729 olabilir (9x9x9).
Olası y adayları: 26, 62, 34, 43, 126, 162, 216 vb.
y sayısı, 3 basamaklı x sayısının rakamları çarpımı olduğu için y <= 9^3 = 729 olmalıdır.
3
Hangi y adaylarının 3 basamaklı bir x sayısının rakamları çarpımı olabileceğini test et (asal çarpanlarına ayırarak).
y=26 (2x13, olmaz), y=34 (2x17, olmaz), y=43 (asal, olmaz). y=126 (2x63=2x7x9) UYGUN.
x'in rakamları tek basamaklı olmalıdır. 13, 17 gibi asal çarpanlar tek basamaklı değildir.
4
Uygun y değeri (126) için en küçük x sayısını oluştur.
126'nın tek basamaklı çarpanları {2, 7, 9} veya {3, 6, 7} olabilir. En küçük x için rakamlar küçükten büyüğe ve en küçük basamak değeri başta olmalı: 279.
279 < 367 olduğundan en küçük sayı 279'dur.
5
Bulunan x sayısının rakamları toplamını hesapla.
2 + 7 + 9 = 18.
Soru kökünde istenen değer budur.

Anahtar Kavram

Tersine İşlem ve Sayı Analizi

İpuçları

1
Soruyu sondan başa doğru çözmeyi deneyin. Önce T(y)=12T(y)=12 olacak şekilde y sayılarını düşünün, sonra bu y sayılarının T(x)T(x) olup olamayacağını kontrol edin.
2
Bir sayının rakamları çarpımı olabilmesi için o sayının asal çarpanlarının tek basamaklı (2, 3, 5, 7) olması gerekir. Örneğin 26 sayısı 2×132 \times 13 olduğundan rakamları çarpımı 26 olan bir sayı yazılamaz (13 rakam değildir).
3
Rakamları çarpımı 12 olan olası y değerleri: 26, 34, 43, 62, 126... Bunlardan sadece 126, tek basamaklı sayıların çarpımı olarak yazılabilir (2×7×92 \times 7 \times 9). Şimdi bu rakamlarla en küçük x sayısını oluşturun.

Alternatif Yöntem

Tüm olası 3 basamaklı sayıları denemek yerine, 12 sayısının çarpanlarından yola çıkarak ağaç diyagramı oluşturulabilir: 12 -> {2,6}, {3,4}, {2,2,3}. Bu rakam gruplarından oluşan sayılar (y adayları) için tekrar çarpanlara ayırma yapılır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Rutin Olmayan Problemler

Bu konudan daha fazla soru