Examkin

Soru

Zorluk: ZorPozitif ve Negatif Sayılar

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı aa ve bb sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler sağlanmaktadır:

a3<a2<∣a∣ a^3 < a^2 < |a|
a⋅b<0 a \cdot b < 0
a−b>0 a - b > 0

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

  1. A
    a+b>0a + b > 0
  2. B
    b>a2b > a^2
  3. b<a⋅bb < a \cdot bCevap
  4. D
    ab>−1\frac{a}{b} > -1
  5. E
    b2<ab^2 < a

Cevap

b<a⋅bb < a \cdot b ifadesi daima doğrudur.
Verilen koşullardan 0<a<10 < a < 1 ve b<0b < 0 olduğu tespit edilir. b<a⋅bb < a \cdot b eşitsizliği düzenlendiğinde b(1−a)<0b(1 - a) < 0 elde edilir. bb negatif, (1−a)(1-a) pozitif olduğu için çarpımları daima negatiftir.

Adım Adım Çözüm

1
a3<a2<∣a∣a^3 < a^2 < |a| eşitsizliğini analiz et.
aa'nın aralığı (−1,0)∪(0,1)(-1, 0) \cup (0, 1) olarak bulunur.
Bir sayının karesi kendisinden mutlak değerce küçükse sayı (−1,1)(-1, 1) aralığındadır. Küpünün karesinden küçük olması ise negatif sayıları veya (0,1)(0, 1) aralığını işaret eder.
2
a⋅b<0a \cdot b < 0 ve a−b>0a - b > 0 koşullarını kullanarak işaretleri belirle.
aa pozitif (0<a<10 < a < 1), bb negatiftir.
aa ve bb zıt işaretlidir. a>ba > b olduğuna göre pozitif olan aa, negatif olan bb olmalıdır. (Eğer aa negatif olsaydı bb pozitif olurdu ve a>ba > b sağlanamazdı).
3
Doğru seçeneği (b<a⋅bb < a \cdot b) incele.
b(1−a)<0b(1 - a) < 0 eşitsizliği elde edilir.
Eşitsizliği düzenlediğimizde b−ab<0⇒b(1−a)<0b - ab < 0 \Rightarrow b(1 - a) < 0 olur.
4
Sonucun doğruluğunu teyit et.
İfade daima doğrudur.
bb negatiftir (-). 0<a<10 < a < 1 olduğundan (1−a)(1 - a) pozitiftir (+). (-) ile (+) çarpımı negatiftir (< 0). Bu daima sağlanır.

Anahtar Kavram

Basit Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

İpuçları

1
Önce a3<a2<∣a∣a^3 < a^2 < |a| eşitsizliğini sağlayan aa sayılarını sayı doğrusu üzerinde düşünün. Hangi aralıktaki sayıların karesi kendisinden küçük olur?
2
aa ve bb'nin işaretlerini belirlemek için a⋅b<0a \cdot b < 0 (zıt işaretli) ve a>ba > b (büyük olan pozitif olmalı) bilgilerini birleştirin.
3
0<a<10 < a < 1 ve b<0b < 0 bulduktan sonra, seçeneklerdeki eşitsizlikleri bir tarafa toplayarak (örneğin b−ab<0b - ab < 0) işaret incelemesi yapın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla x2<xx^2 < x ve y3<yy^3 < y koşullarını sağlayan sayıların çarpımının işaretini inceleyen sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: a=0.5a = 0.5 ve b=−2b = -2 değerlerini seçerek şıkları test edebilirsiniz. Ancak 'daima' dendiği için sınır durumları da düşünmelisiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Pozitif ve Negatif Sayılar

Bu konudan daha fazla soru