Pozitif ve Negatif Sayılar Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Sıfırdan farklı $a, b$ ve $c$ gerçel sayıları için aşağıda verilen eşitlik ve eşitsizlikler sağlanmaktadır:

\frac{a}{c} > 0

a \cdot b < 0

a + b > 0

b > c

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

a > c

b \cdot c > 0

\frac{a+b}{c} < 0

a - b > 0

c^2 > a^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{a+b}{c} < 0$

Cevap

\frac{a+b}{c} < 0

ifadesi kesinlikle doğrudur.

Doğru seçenekte verilen kesirli ifadenin işaretini bulmak için pay ve paydanın işaretlerine bakılır. Soruda

a+b > 0

olarak verilmiştir, yani pay pozitiftir. İşaret analizi sonucunda

c

'nin negatif olduğu bulunmuştur. Pozitif bir sayının negatif bir sayıya bölümü daima negatiftir (

< 0

). Bu nedenle bu eşitsizlik kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

İşaret ilişkilerini analiz et

\frac{a}{c} > 0

olduğu için

a

ve

c

aynı işaretlidir (

+,+

veya

-,-

).

a \cdot b < 0

olduğu için

a

ve

b

zıt işaretlidir.

Çarpma ve bölme işlemlerinde sonuç işareti kuralı.

2

Olası durumları

b > c

şartı ile ele

Durum 1:

a(+), c(+), b(-)

olsa

b > c

sağlanamaz (negatif > pozitif olamaz). Durum 2:

a(-), c(-), b(+)

olsa

b > c

sağlanır (pozitif > negatif). Demek ki işaretler:

a(-), b(+), c(-)

.

Büyüklük ilişkisi işaretleri kesinleştirmeyi sağlar.

3

Seçenekleri verilen

a + b > 0

bilgisiyle test et

Pay kısmı (

a+b

) soruda pozitif olarak verilmiştir. Payda (

c

) negatiftir. Pozitifin negatife bölümü (

+

/

-

) negatiftir (

< 0

).

Kesinlik sorusu olduğu için işaretlerin bölümü incelenir.

Anahtar Kavram

İşaret İncelemesi ve Eşitsizlik Yorumlama

İpuçları

1

Önce

\frac{a}{c} > 0

ve

a \cdot b < 0

ifadelerini kullanarak

a, b

ve

c

arasındaki işaret gruplandırmasını yapın.

2

b

ve

c

'nin işaretlerinin zıt olduğunu bulduktan sonra,

b > c

eşitsizliğinin sağlanması için hangisinin pozitif hangisinin negatif olması gerektiğini düşünün.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2Soru →

Sıfırdan farklı $x, y$ ve $z$ gerçel sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler ve eşitlikler verilmiştir:

x \cdot z = -y^2

x^2 \cdot z^3 < 0

x \cdot y \cdot z > 0

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

x + y > 0

y > z

x \cdot (y + z) < 0

\frac{x}{y} > 0

z^2 > x^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x \cdot (y + z) < 0

Cevap

x

pozitif,

y

ve

z

negatif olduğu için,

x \cdot (y + z) < 0

ifadesi daima doğrudur.

Verilen eşitsizliklerden adım adım ilerlendiğinde sayıların işaretleri şu şekilde bulunur:

z

negatiftir (çünkü

x^2

pozitifken çarpım negatiftir),

x

pozitiftir (çünkü

z

ile çarpımı

-y^2

yani negatif bir sonuç verir), ve

y

negatiftir (çünkü üçünün çarpımı pozitiftir). Doğru seçenek, pozitif bir sayı (

x

) ile iki negatif sayının toplamının (

y+z

) çarpımını içerir. Negatif iki sayının toplamı kesinlikle negatiftir. Pozitif ve negatifin çarpımı daima negatiftir (

<0

), bu nedenle bu seçenek her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

x^2 \cdot z^3 < 0

eşitsizliğini incele.

x^2

daima pozitiftir. Çarpımın negatif olması için

z^3

negatif olmalıdır. Bu durumda **

z < 0

** sonucuna ulaşılır.

Çift kuvvetler pozitiftir, tek kuvvetler tabanın işaretini korur.

2

x \cdot z = -y^2

eşitliğini incele.

y^2

pozitiftir, bu yüzden

-y^2

negatiftir. Yani

x \cdot z

çarpımı negatiftir.

z

negatif olduğuna göre, **

x > 0

** (pozitif) olmalıdır.

Çarpımları negatif olan iki sayı zıt işaretlidir.

3

x \cdot y \cdot z > 0

eşitsizliğini incele.

x

pozitif,

z

negatiftir.

x \cdot z

negatiftir. Çarpımın pozitif olması için

y

de negatif olmalıdır. Sonuç: **

y < 0

**.

Üç sayının çarpımı pozitifse ve ikisinin çarpımı negatifse, üçüncü sayı negatif olmalıdır.

4

Seçenekleri işaretlere (

x:+, y:-, z:-

) göre değerlendir.

y + z

işlemi (negatif + negatif) negatiftir.

x

pozitiftir. Çarpım

x \cdot (y + z)

(pozitif

\cdot

negatif) daima negatiftir (

< 0

).

İşaret kuralı:

(+) \cdot (-) = (-)

.

Anahtar Kavram

İşaret İncelemesi ve Eşitsizlik Özellikleri

İpuçları

1

Öncelikle kuvveti çift olan terimlerden (

x^2, y^2

) başlayarak sayıların işaretlerini belirlemeye çalışın.

2

x^2

ve

y^2

daima pozitiftir.

x^2 \cdot z^3 < 0

olması

z

'nin işaretini verir.

x \cdot z = -y^2

olması ise

x

ve

z

'nin zıt işaretli olduğunu gösterir.

3

İşaretleri

x(+)

,

y(-)

,

z(-)

olarak bulduktan sonra, seçeneklerdeki işlemlerin sonucunun işaretini kontrol edin. Negatif iki sayının toplamı (

y+z

) negatiftir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 3Soru →

Sıfırdan farklı

x, y

ve

z

gerçel sayıları için,

\frac{|x|}{x} + \frac{|y|}{y} + \frac{|z|}{z} = -1

x \cdot y < 0

y - z < 0

bilgileri veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

x + y + z > 0

x \cdot (y - z) > 0

y^2 < z^2

\frac{x - y}{z} < 0

|y| < |z|

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{x - y}{z} < 0$

Cevap

\frac{x - y}{z} < 0

ifadesi daima doğrudur.

Verilen eşitlikten hareketle iki sayının negatif, bir sayının pozitif olduğu bulunur.

x

ve

y

'nin çarpımı negatif olduğundan zıt işaretlidirler, bu durumda üçüncü sayı olan

z

kesinlikle negatiftir.

y < z

bilgisiyle

y

'nin de negatif olduğu, dolayısıyla

x

'in pozitif olduğu kesinleşir. İstenen ifadede pozitif bir sayıdan negatif bir sayı çıkarıldığında (

x-y

) pay pozitif olur; payda (

z

) ise negatiftir. Artının eksiye bölümü daima negatiftir.

Adım Adım Çözüm

1

İlk eşitliği analiz et.

\frac{|a|}{a}

ifadesi

a>0

için

1

,

a<0

için

-1

değerini alır. Toplamın

-1

olması için terimlerden ikisi

-1

, biri

+1

olmalıdır. Yani sayılardan ikisi negatif, biri pozitiftir.

İşaret analizi yapmak için.

2

İkinci ve üçüncü eşitsizlikleri kullanarak işaretleri belirle.

x \cdot y < 0

olduğu için

x

ve

y

zıt işaretlidir (biri negatif, biri pozitif). Toplamda iki negatif sayı olması gerektiğinden, geriye kalan

z

sayısı kesinlikle negatif olmalıdır (

z < 0

).

Değişkenlerin işaretlerini kesinleştirmek için.

3

y

ve

x

işaretlerini netleştir.

y - z < 0

ifadesinden

y < z

elde edilir.

z

negatif olduğuna göre,

z

'den küçük olan

y

de kesinlikle negatiftir.

y

negatif ise, zıt işaretli olan

x

pozitiftir.

Sıralamayı ve tüm işaretleri bulmak için.

4

Elde edilen bulguları özetle.

İşaretler:

x(+), y(-), z(-)

. Sıralama:

y < z < 0 < x

.

Seçenekleri test etmek için referans oluşturmak.

5

Doğru seçeneği test et.

\frac{x - y}{z}

ifadesinde; Pay (

x - y

) = (Pozitif) - (Negatif) = Pozitif. Payda (

z

) = Negatif. Sonuç:

(+) / (-) = (-)

. İfade

< 0

dediği için bu seçenek daima doğrudur.

Kesin doğruluğu kanıtlamak için.

Anahtar Kavram

İşaret Fonksiyonu ve Eşitsizlik Sistemleri

İpuçları

1

\frac{|a|}{a}

ifadesi sadece

1

veya

-1

değerini alabilir. Toplamın

-1

olması, kaç tanesinin negatif olması gerektiğini gösterir?

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 4Soru →

Sıfırdan farklı $x, y$ ve $z$ gerçel sayıları için aşağıda verilen eşitsizlikler sağlanmaktadır:

x - z > |x + z|

x + y < 0

y > z

Buna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi kesinlikle doğrudur?

z < x < y

y^2 < x^2 < z^2

x^2 < y^2 < z^2

z^2 < y^2 < x^2

y < z < x

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x^2 < y^2 < z^2$

Cevap

Sayıların karelerinin sıralaması

x^2 < y^2 < z^2

şeklindedir.

Verilen

x - z > |x + z|

eşitsizliği,

x

'in pozitif ve

z

'nin negatif olduğunu garanti eder. İkinci bilgi (

x+y<0

), pozitif

x

'e rağmen toplamın negatif olması nedeniyle

y

'nin negatif olduğunu ve sıfıra olan uzaklığının

x

'ten fazla olduğunu gösterir (

|y|>|x|

). Üçüncü bilgi (

y>z

), her ikisi de negatif olan bu sayılardan

z

'nin daha solda (daha küçük) olduğunu, dolayısıyla sıfıra en uzak olanın

z

olduğunu kanıtlar (

|z|>|y|

). Sıfıra uzaklık (mutlak değer) arttıkça kare de büyüdüğünden, doğru sıralama

x^2 < y^2 < z^2

olur.

Adım Adım Çözüm

1

x - z > |x + z|

eşitsizliğini analiz et.

x > 0

ve

z < 0

olduğu tespit edilir.

Bir sayının (

x-z

) mutlak değerden büyük olması için pozitif olması gerekir. Ayrıca işaret analizi yapıldığında bu eşitsizlik sadece

x

pozitif ve

z

negatifken sağlanır.

2

x + y < 0

eşitsizliğini ve

x

'in işaretini kullanarak

y

'yi yorumla.

y < -x

olduğu için

y

negatiftir ve mutlak değeri

x

'ten büyüktür (

|y| > x

).

Pozitif bir sayı (

x

) ile toplandığında sonuç negatif oluyorsa, diğer sayı (

y

) mutlak değerce daha büyük bir negatif sayı olmalıdır.

3

y > z

eşitsizliğini sayı doğrusu ve mutlak değer açısından değerlendir.

z

,

y

'den daha küçüktür (daha soldadır), bu nedenle

|z| > |y|

olur.

Negatif sayılarda küçüldükçe sıfırdan uzaklaşılır, yani mutlak değer büyür.

4

Elde edilen mutlak değer ilişkilerini kare alma işlemiyle sırala.

|z| > |y| > |x|

olduğundan

z^2 > y^2 > x^2

elde edilir.

Mutlak değeri büyük olan sayının karesi de büyüktür.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

İpuçları

1

İlk eşitsizlikte

x

ve

z

'nin işaretlerini belirlemeye çalışın. Farkları (

x-z

), toplamlarının mutlak değerinden büyükse, bu sayılar zıt işaretli olabilir mi?

2

x - z > |x + z|

eşitsizliği ancak

x > 0

ve

z < 0

olduğunda sağlanır. Bunu doğruladıktan sonra diğer eşitsizlikleri kullanarak sayıların mutlak değerlerini (sıfıra uzaklıklarını) kıyaslayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla

a \cdot b < 0

ve

|a| < |b|

verip

a+b

toplamının işaretini soran sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sayı vererek deneme (Değer verme) yöntemi:

x=2

seçelim.

x+y<0

olması için

y=-3

olsun (

|y|>x

sağlanır).

y>z

olması için

z=-5

olsun. Şartları kontrol edelim:

2 - (-5) > |2-5| \Rightarrow 7 > 3

(Doğru). Bu değerlerin kareleri:

x^2=4, y^2=9, z^2=25

. Sıralama

x^2 < y^2 < z^2

olur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 5Soru →

$x, y$ ve $z$ sıfırdan farklı gerçel sayılardır.

x^2 \cdot z < 0

x \cdot y > 0

x + z > 0

ifadeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

y \cdot z > 0

x + y + z < 0

\frac{x - z}{y} < 0

x^2 > z^2

x > y

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x^2 > z^2$

Cevap

x^2 > z^2

ifadesi daima doğrudur.

Verilen eşitsizliklerden

z

'nin negatif,

x

ve

y

'nin pozitif olduğu anlaşılmaktadır. Ayrıca

x + z > 0

ifadesi,

x

'in mutlak değerinin

z

'nin mutlak değerinden büyük olduğunu (

|x| > |z|

) kanıtlar. Bu durumda her iki tarafın karesi alındığında

x^2 > z^2

eşitsizliği daima doğru olur.

Adım Adım Çözüm

1

x^2 \cdot z < 0

eşitsizliğini inceleme

x^2

daima pozitif olduğundan, çarpımın negatif olması için

z < 0

olmalıdır.

Çift kuvvetler (sıfır hariç) daima pozitiftir.

2

x + z > 0

eşitsizliğini kullanarak

x

ve

z

arasındaki ilişkiyi belirleme

x > -z

sonucuna ulaşılır.

z

negatif bir sayı olduğundan,

-z

pozitiftir. Bu durumda

x

kesinlikle pozitiftir (

x > 0

) ve mutlak değerce

z

'den büyüktür (

|x| > |z|

).

Bir sayının negatifiyle toplamının pozitif olması için, pozitif olan sayının mutlak değerce daha büyük olması gerekir.

3

x \cdot y > 0

eşitsizliğini inceleme

x > 0

olduğu bilindiğine göre, çarpımın pozitif olması için

y

de pozitif (

y > 0

) olmalıdır.

Aynı işaretli sayıların çarpımı pozitiftir.

4

Seçenekleri değerlendirme

|x| > |z|

olduğu için her iki tarafın karesi alındığında

x^2 > z^2

eşitsizliği elde edilir.

Doğru seçeneği tespit etmek için bulguları şıklarda test etme.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik Sistemlerinde İşaret ve Mutlak Değer Analizi

İpuçları

1

Önce

x^2 \cdot z < 0

ifadesinden başlayarak

z

'nin işaretini belirleyiniz. Çift kuvvetlerin işaret üzerindeki etkisini hatırlayınız.

2

x + z > 0

ifadesini

x > -z

olarak düşününüz.

z

negatif ise,

-z

pozitiftir. Bu durum

x

ve

z

'nin mutlak değerleri hakkında ne söyler?

3

x

'in mutlak değerce

z

'den büyük olduğunu bulduktan sonra (

|x| > |z|

), karelerini alarak seçenekleri kontrol ediniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış mutlak değerli eşitsizlik sorularını inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Sayı vererek deneme yöntemi: Şartları sağlayan değerler seçiniz. Örneğin

z = -2

olsun.

x^2

pozitif olmalı,

x+z > 0

için

x > 2

olmalı (mesela

x=3

).

x \cdot y > 0

için

y

de pozitif olmalı (mesela

y=5

). Bu değerleri (

x=3, y=5, z=-2

) şıklarda yerine koyarak hangisinin sağlandığını görebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 6Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $a$ ve $b$ sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler sağlanmaktadır:

a^3 < a^2 < |a|

a \cdot b < 0

a - b > 0

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

a + b > 0

b > a^2

b < a \cdot b

\frac{a}{b} > -1

b^2 < a

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $b < a \cdot b$

Cevap

b < a \cdot b

ifadesi daima doğrudur.

Verilen koşullardan

0 < a < 1

ve

b < 0

olduğu tespit edilir.

b < a \cdot b

eşitsizliği düzenlendiğinde

b(1 - a) < 0

elde edilir.

b

negatif,

(1-a)

pozitif olduğu için çarpımları daima negatiftir.

Adım Adım Çözüm

1

a^3 < a^2 < |a|

eşitsizliğini analiz et.

a

'nın aralığı

(-1, 0) \cup (0, 1)

olarak bulunur.

Bir sayının karesi kendisinden mutlak değerce küçükse sayı

(-1, 1)

aralığındadır. Küpünün karesinden küçük olması ise negatif sayıları veya

(0, 1)

aralığını işaret eder.

2

a \cdot b < 0

ve

a - b > 0

koşullarını kullanarak işaretleri belirle.

a

pozitif (

0 < a < 1

),

b

negatiftir.

a

ve

b

zıt işaretlidir.

a > b

olduğuna göre pozitif olan

a

, negatif olan

b

olmalıdır. (Eğer

a

negatif olsaydı

b

pozitif olurdu ve

a > b

sağlanamazdı).

3

Doğru seçeneği (

b < a \cdot b

) incele.

b(1 - a) < 0

eşitsizliği elde edilir.

Eşitsizliği düzenlediğimizde

b - ab < 0 \Rightarrow b(1 - a) < 0

olur.

4

Sonucun doğruluğunu teyit et.

İfade daima doğrudur.

b

negatiftir (-).

0 < a < 1

olduğundan

(1 - a)

pozitiftir (+). (-) ile (+) çarpımı negatiftir (< 0). Bu daima sağlanır.

Anahtar Kavram

Basit Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

İpuçları

1

Önce

a^3 < a^2 < |a|

eşitsizliğini sağlayan

a

sayılarını sayı doğrusu üzerinde düşünün. Hangi aralıktaki sayıların karesi kendisinden küçük olur?

2

a

ve

b

'nin işaretlerini belirlemek için

a \cdot b < 0

(zıt işaretli) ve

a > b

(büyük olan pozitif olmalı) bilgilerini birleştirin.

3

0 < a < 1

ve

b < 0

bulduktan sonra, seçeneklerdeki eşitsizlikleri bir tarafa toplayarak (örneğin

b - ab < 0

) işaret incelemesi yapın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla

x^2 < x

ve

y^3 < y

koşullarını sağlayan sayıların çarpımının işaretini inceleyen sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi:

a = 0.5

ve

b = -2

değerlerini seçerek şıkları test edebilirsiniz. Ancak 'daima' dendiği için sınır durumları da düşünmelisiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 7Soru →

$x$ , $y$ ve $z$ sıfırdan farklı gerçel sayıları için,

x + y < 0

x \cdot z > 0

y - z > 0

|x| < |y|

eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu her zaman pozitiftir?

x - y

y - x

x + z

x \cdot y \cdot z

\frac{z}{x - y}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x - y$

Cevap

x - y ifadesi her zaman pozitiftir.

Verilen eşitsizliklerden y'nin negatif olduğu, y'nin z'den büyük olduğu ve x'in de negatif olduğu anlaşılmaktadır. Sayılar arasındaki büyüklük ilişkisi z < y < x < 0 şeklindedir. x sayısı y'den daha büyük (sıfıra daha yakın) bir negatif sayı olduğu için, x - y çıkarma işlemi pozitif bir fark yaratır.

Adım Adım Çözüm

1

y'nin işaretini belirleme

y < 0

|x| < |y|

ve

x + y < 0

ise, mutlak değerce büyük olan

y

sayısının işareti toplamın sonucunu belirler. Dolayısıyla

y

negatiftir.

2

z'nin işaretini ve y ile ilişkisini bulma

z < y < 0

y - z > 0 \Rightarrow y > z

olur.

y

negatif olduğuna göre, ondan daha küçük olan

z

de kesinlikle negatiftir.

3

x'in işaretini belirleme

x < 0

x \cdot z > 0

olduğu verilmiştir.

z

negatif olduğuna göre çarpımın pozitif olması için

x

de negatif olmalıdır.

4

Sayıları sıralama ve mutlak değer ilişkisini kontrol etme

z < y < x < 0

y > z

ve

|x| < |y|

(negatif sayılarda mutlak değerce küçük olan daha büyüktür) bilgilerinden hareketle tüm sayılar negatiftir ve sıralama

z < y < x < 0

şeklindedir.

5

Seçenekleri değerlendirme

x - y > 0

x > y

olduğu için büyük sayıdan küçük sayı çıkarıldığında sonuç pozitif olur.

Anahtar Kavram

Negatif sayılarda toplama, çıkarma ve mutlak değer yorumu

İpuçları

1

Önce mutlak değer ve toplam bilgisini kullanarak y'nin işaretini bulun.

2

Tüm sayıların negatif olduğunu keşfettikten sonra z < y < x < 0 sıralamasını oluşturun.

3

Şıkları kontrol ederken x = -1, y = -3, z = -5 gibi basit değerler vererek sonuçları test edebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer sorularda çift kuvvet içeren ifadelerin (örneğin x^2) her zaman pozitif olduğunu varsayarak diğer değişkenlerin işaretlerini daha hızlı analiz edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde yerleşim yaparak düşünmek: y sayısı z'nin sağında, x sayısı ise y'nin sağındadır. Tüm bu sayılar 0'ın solundadır. x, y'nin sağında olduğu için x - y mesafesi pozitif bir değerdir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 8Soru →

-(-12) + (-4) \cdot (+2)

Yukarıda verilen işlemin sonucu kaçtır?

20

4

-4

-20

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İşlemin sonucu 4'tür.

Verilen işlemde öncelikle

-(-12)

ifadesi

+12

olarak dışarı çıkar. Ardından işlem önceliğine dikkat edilerek

(-4) \cdot (+2)

çarpımı yapılır ve

-8

sonucu bulunur. Son aşamada

12

ile

-8

toplandığında sonuç

4

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Parantez önündeki eksi işaretini dağıtın.

-(-12) = +12

Bir parantezin önündeki eksi (-) işareti, içerideki sayının işaretini tersine çevirir. İki negatif işaretin yan yana gelmesi sonucu pozitif yapar.

2

Çarpma işlemini gerçekleştirin.

(-4) \cdot (+2) = -8

Matematikte işlem önceliği gereği çarpma işlemi toplama işleminden önce yapılır. Zıt işaretli iki sayının çarpımı negatiftir.

3

Elde edilen sonuçları toplayın.

12 + (-8) = 4

Büyük olan sayının işaretini alarak çıkarma işlemi yapılır (

12 - 8 = 4

).

Anahtar Kavram

Tam sayılarda dört işlem yaparken işlem önceliği ve işaret çarpım kuralları (eksi ile eksinin çarpımı artı, artı ile eksinin çarpımı eksi) hayati önem taşır.

İpuçları

1

İşlemde hem toplama/çıkarma hem de çarpma var. Hangisini önce yapman gerektiğini hatırla.

2

Zıt işaretli iki sayıyı çarptığında sonucun işareti ne olur? Peki ya iki negatif işaret yan yana gelirse?

3

İşlemi iki parçaya ayır: İlk parça

-(-12)

, ikinci parça

(-4) \cdot (+2)

. Bu iki parçanın sonuçlarını bulup birleştir.

Daha Fazla Pratik

İşaret kurallarını iyice pekiştirmek için benzer şekilde içinde parantez ve çarpma olan 3-4 farklı işlem daha çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İşlemi bir borç-alacak hesabı gibi düşünebilirsiniz:

-(-12)

size 12 TL para gelmesi demektir.

(-4) \cdot 2

ise her biri 4 TL olan 2 adet borç demektir. 12 TL paranız varken 8 TL borç öderseniz elinizde 4 TL kalır.

Tahmini Süre:45s

Soru 9Soru →

$x, y$ ve $z$ sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere,

x \cdot y < 0

x < y

x + z = 0

\frac{y - z}{x} > 0

eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

x + y < 0

y - x < 0

z < y

|x| < y

x \cdot z > 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x + y < 0$

Cevap

x + y < 0

eşitsizliği daima doğrudur.

Verilen

x + z = 0

eşitliğinden

x

ve

z

'nin mutlak değerce eşit ve zıt işaretli olduğu (

x = -z

) anlaşılır.

x < y

ve

x \cdot y < 0

şartlarından

x

'in negatif,

y

'nin pozitif olduğu belirlenir.

\frac{y - z}{x} > 0

eşitsizliğinde payda (

x

) negatif olduğundan pay (

y - z

) da negatif olmalıdır, bu da

y < z

sonucunu verir. Sonuç olarak

z > y

ve

x = -z

olduğundan,

x + y = -z + y

ifadesi negatif bir sonuç verir.

Adım Adım Çözüm

1

x \cdot y < 0

ve

x < y

eşitsizliklerini incele.

x

ve

y

zıt işaretlidir.

x < y

olduğu için

x

negatif (

x < 0

),

y

pozitif (

y > 0

) olmalıdır.

Zıt işaretli iki sayıdan küçük olan negatiftir.

2

x + z = 0

eşitliğini kullanarak

z

'nin işaretini ve büyüklüğünü belirle.

z = -x

olur.

x

negatif olduğu için

z

pozitif (

z > 0

) bir sayıdır. Ayrıca

|x| = z

eşitliği vardır.

Toplamları sıfır olan sayılar zıt işaretlidir ve mutlak değerce eşittir.

3

\frac{y - z}{x} > 0

eşitsizliğini çöz.

Kesrin paydası (

x

) negatiftir. Sonucun pozitif olması için payın (

y - z

) da negatif olması gerekir. Yani

y - z < 0 \implies y < z

.

Bölümün pozitif olması için pay ve payda aynı işaretli olmalıdır.

4

Bulunan tüm ilişkileri birleştir (

x < 0

,

0 < y < z

,

|x| = z

).

Sıralama

x < 0 < y < z

şeklindedir ve

x

'in mutlak değeri (

z

),

y

'den büyüktür.

Değişkenler arasındaki büyüklük ilişkisini kesinleştirmek.

5

Seçenekleri bu bilgilere göre değerlendir.

x + y

ifadesinde

x = -z

yazılırsa

-z + y

elde edilir.

y < z

olduğu için bu toplam negatiftir (

x + y < 0

).

Doğru seçeneği belirlemek.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik Sistemleri ve İşaret İncelemesi

İpuçları

1

x \cdot y < 0

ve

x < y

bilgilerini kullanarak

x

ve

y

'nin işaretlerini belirleyerek başla.

2

x + z = 0

eşitliği,

x

ve

z

'nin büyüklükleri hakkında ne söyler? Bu bilgiyi

x

'in işaretiyle birleştir.

3

Kesirli eşitsizlikte paydanın (

x

) işareti negatiftir. Sonucun pozitif olması için payın (

y-z

) işareti ne olmalıdır?

Daha Fazla Pratik

Mutlak değer içeren eşitsizlik sistemlerinde sıralama soruları çöz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 10Soru →

Sıfırdan farklı $x, y$ ve $z$ gerçel sayıları hakkında aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $x$ ile $y$ sayılarının toplamı sıfırdır.
* $x$ ile $z$ sayılarının çarpımı negatiftir.
* $y$ sayısı $z$ sayısından büyüktür.
* $y$ sayısının mutlak değeri, $z$ sayısının mutlak değerinden küçüktür.

Buna göre, bu sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

z < y < x

x < y < z

y < z < x

z < x < y

y < x < z

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $z < y < x$

Cevap

Sayıların doğru sıralaması

z < y < x

şeklindedir.

Verilen bilgiler ışığında; y ve z sayılarının her ikisinin de negatif olduğu, z'nin mutlak değerce daha büyük olduğu (yani daha küçük olduğu), x'in ise bu sayılarla zıt işaretli olduğu için pozitif olduğu anlaşılmaktadır. Bu nedenle en küçük z, sonra y, en büyük ise x sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1

x + y = 0

bilgisini analiz et.

y = -x

sonucuna ulaşılır. Bu,

x

ve

y

'nin mutlak değerce eşit ancak zıt işaretli olduğunu gösterir.

Zıt işaretli sayıların tespiti için ilk adımdır.

2

x \cdot z < 0

bilgisini ve işaret durumlarını incele.

x

ile

z

zıt işaretlidir. 1. adımdan

x

ile

y

de zıt işaretliydi. O halde

y

ile

z

AYNI işaretlidir.

Üç sayının işaret gruplarını belirlemek için gereklidir.

3

y > z

ve

|y| < |z|

eşitsizliklerini birlikte değerlendirerek sayıların işaretini kesinleştir.

Eğer

y

ve

z

pozitif olsaydı,

|y| < |z|

durumu

y < z

sonucunu verirdi, ancak

y > z

verilmiş. Çelişki var. Demek ki

y

ve

z

NEGATİF sayılardır. Bu durumda

|y| < |z|

iken

y > z

(sıfıra daha yakın olan büyüktür) kuralı sağlanır.

Sayıların pozitif mi negatif mi olduğunu kesin olarak belirleyen kritik mantık adımıdır.

4

Tüm işaretleri ve büyüklükleri birleştirerek sıralama yap.

y

ve

z

negatiftir.

y > z

olduğu için

z

en küçüktür (

z < y

).

x

ve

y

zıt işaretli olduğundan ve

y

negatif olduğundan,

x

pozitiftir. Pozitif sayı negatiflerden büyüktür.

Sonuç sıralamasını oluşturmak için.

Anahtar Kavram

Negatif sayılarda sıralama yapılırken mutlak değer büyüdükçe sayının değeri küçülür (Sıfırdan uzaklaşır).

İpuçları

1

Toplamları sıfır olan iki sayı (

x

ve

y

) zıt işaretlidir (biri pozitif, diğeri negatiftir).

2

y

ile

z

'nin işaretini bulmak için şu mantığı kullanın: Eğer ikisi de pozitif olsaydı, mutlak değeri küçük olan (

y

) diğerinden (

z

) daha küçük olurdu (

y < z

). Ancak soruda

y > z

verilmiş.

3

Çelişkiyi gidermek için

y

ve

z

'nin negatif olması gerekir. Negatif sayılarda 'sıfıra yakın olan büyüktür' kuralını hatırlayın.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 11Soru →

Sıfırdan farklı

a

ve

b

gerçel sayıları için,

\frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} = 0

a - b < 0

a^2 < b^2

eşitsizlikleri ve eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

a + b < 0

\frac{a + b}{a} < 0

a \cdot b > 0

|a| - b > 0

\frac{a}{b} + 1 < 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{a + b}{a} < 0$

Cevap

Daima doğru olan ifade:

\frac{a + b}{a} < 0

Verilen şartlar altında

a

negatif,

b

pozitiftir ve

b

'nin mutlak değeri

a

'dan büyüktür (

|b| > |a|

). Bu durumda

a+b

toplamı pozitif olur.

a

sayısı negatif olduğundan, pozitif bir sayının negatif bir sayıya bölümü (

\frac{a+b}{a}

) daima negatif çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci eşitliği analiz et:

\frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} = 0

Bu toplamın 0 olması için terimlerden biri 1, diğeri -1 olmalıdır. Bu,

a

ve

b

sayılarının zıt işaretli olduğunu gösterir.

Bir sayının mutlak değerine bölümü, sayı pozitifse 1, negatifse -1'dir.

2

İkinci eşitsizliği analiz et:

a - b < 0 \Rightarrow a < b

Zıt işaretli iki sayıdan küçük olanı negatif, büyük olanı pozitif olmak zorundadır. Yani

a < 0

ve

b > 0

.

Eğer

a

pozitif olsaydı,

b

negatif olurdu ve

a > b

çıkardı ki bu eşitsizlikle çelişirdi.

3

Üçüncü eşitsizliği analiz et:

a^2 < b^2

Her iki tarafın karekökü alınırsa

|a| < |b|

elde edilir. Yani pozitif olan

b

sayısı, negatif olan

a

sayısından mutlak değerce daha büyüktür (Sıfıra daha uzaktır).

Kare alma işlemi işaretleri yok eder ve büyüklük kıyaslaması sağlar.

4

Doğru seçeneği test et:

\frac{a + b}{a}

Pay (

a+b

):

|b| > |a|

ve

b

pozitif olduğu için toplam pozitiftir (

+

). Payda (

a

): Negatiftir (

-

). Sonuç:

(+) / (-) = (-)

. Bu ifade daima sıfırdan küçüktür.

İşaret incelemesi sonucu kesinlik kazanır.

Anahtar Kavram

Zıt işaretli sayılarda mutlak değerce büyük olanın işareti, toplamın işaretini belirler.

İpuçları

1

\frac{|x|}{x}

ifadesi,

x

pozitifse 1, negatifse -1 değerini alır. Toplamın 0 olması için sayılardan biri pozitif, diğeri negatif olmalıdır.

2

a

ve

b

zıt işaretli ise,

a - b < 0

(yani

a < b

) eşitsizliği hangisinin negatif, hangisinin pozitif olduğunu kesinleştirir.

3

a^2 < b^2

eşitsizliği

|a| < |b|

anlamına gelir. Yani pozitif olan sayı (b), negatif olanın (a) büyüklüğünden fazladır. Buna göre

a+b

toplamının işaretini bulun.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 12Soru →

Pozitif ve negatif tam sayılarla dört işlem konusunu çalışan bir öğrenci, defterine aşağıdaki işlemi yazmıştır:

(-24) \div (-6) + (-3) \cdot (+5)

Buna göre, bu işlemin doğru sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

-19

-11

-1

11

19

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -11

Cevap

İşlemin doğru sonucu -11 olarak bulunur.

Verilen işlemde öncelikle bölme ve çarpma işlemleri yapılır.

(-24) \div (-6) = +4

ve

(-3) \cdot (+5) = -15

sonuçları elde edilir. Bu iki sonucun toplamı olan

4 + (-15)

işlemi ise

-11

sonucunu verir. Bu nedenle doğru cevap -11 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

(-24) \div (-6)

bölme işlemini yapınız.

+4

Aynı işaretli iki sayının birbirine bölümü daima pozitiftir.

24 \div 6 = 4

olduğundan sonuç

+4

olur.

2

(-3) \cdot (+5)

çarpma işlemini yapınız.

-15

Zıt işaretli iki sayının çarpımı daima negatiftir.

3 \times 5 = 15

olduğundan sonuç

-15

olur.

3

Bulunan sonuçları toplayınız:

(+4) + (-15)

-11

Farklı işaretli iki sayı toplanırken, mutlak değerce büyük olan sayıdan (15) küçük olan sayı (4) çıkarılır ve mutlak değerce büyük olanın işareti verilir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda çarpma ve bölme işlemlerinde işaret kuralları ile işlem önceliği.

İpuçları

1

İşlem önceliğine dikkat ederek önce bölme ve çarpma işlemlerini yapmalısın.

2

Aynı işaretli sayıların bölümünün pozitif (+), farklı işaretli sayıların çarpımının ise negatif (-) olduğunu hatırla.

3

İşlem şu hale gelecektir:

(+4) + (-15)

. Şimdi bu iki tam sayıyı toplayarak sonuca ulaşabilirsin.

Daha Fazla Pratik

İşaret kurallarını pekiştirmek için benzer bir soruyu bölme yerine çıkarma işlemi içeren bir ifadeyle çözmeyi deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 13Soru →

Sıfırdan farklı

x, y

ve

z

gerçel sayıları için,

x^3 \cdot y^4 < 0

x - z > 0

y + z = 0

ifadeleri veriliyor.

Buna göre $x, y$ ve $z$ sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

z < x < y

x < z < y

z < y < x

y < x < z

x < y < z

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $z < x < y$

Cevap

Doğru sıralama

z < x < y

şeklindedir.

Verilen ifadeler adım adım analiz edildiğinde; birinci ifadeden

x

'in negatif olduğu, üçüncü ifadeden

y

ve

z

'nin zıt işaretli olduğu, ikinci ifadeden ise

x

'in

z

'den büyük olduğu anlaşılır.

x

negatif ve

x > z

olduğu için

z

de negatiftir.

z

negatif ise

y

pozitiftir. Negatif sayılar arasında

z < x

ilişkisi vardır ve pozitif olan

y

hepsinden büyüktür. Sonuç olarak sıralama

z < x < y

olur.

Adım Adım Çözüm

1

x

sayısının işaretini belirle.

x < 0

(Negatif)

y^4

çift kuvvet olduğu için kesinlikle pozitiftir. Çarpımın (

x^3 \cdot y^4

) negatif olabilmesi için

x^3

negatif olmalıdır, bu da

x

'in negatif olduğunu gösterir.

2

x

ve

z

arasındaki ilişkiyi incele.

z < x < 0

x - z > 0

eşitsizliği

x > z

anlamına gelir.

x

negatif olduğuna göre,

x

'ten daha küçük olan

z

sayısı da kesinlikle negatif olmalıdır.

3

y

sayısının işaretini ve konumunu belirle.

y > 0

(Pozitif)

y + z = 0

eşitliğinden

y = -z

bulunur.

z

negatif bir sayı olduğuna göre, ters işaretlisi olan

y

pozitif olmalıdır.

4

Tüm sayıları sırala.

z < x < y

z

ve

x

negatif sayılardır ve

z < x

ilişkisi vardır.

y

pozitif olduğu için en büyüktür. Birleştirildiğinde

z < x < y

elde edilir.

Anahtar Kavram

Negatif sayılarda sıralama yapılırken sayı sıfırdan uzaklaştıkça küçülür. Tek kuvvetler işareti korurken, çift kuvvetler sonucu daima pozitif yapar.

İpuçları

1

Önce

x^3 \cdot y^4 < 0

eşitsizliğini kullanarak

x

'in işaretini belirleyiniz. Çift kuvvetlerin (

y^4

) sonucu daima pozitiftir.

2

x

'in negatif olduğunu bulduktan sonra,

x - z > 0

eşitsizliğinden

x > z

olduğunu hatırlayınız. Negatif bir sayıdan daha küçük olan bir sayı da negatiftir.

3

z

negatif ise,

y + z = 0

eşitliğinden

y

'nin pozitif olduğunu görebilirsiniz. Pozitif sayılar negatiflerden daima büyüktür.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değerli eşitsizliklerde sıralama sorularını inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Sayı vererek deneme yöntemi: Eşitsizlikleri sağlayan örnek değerler seçin. Örneğin

x=-2

olsun.

x^3

negatiftir, uygundur.

x > z

olmalı,

z=-5

seçelim (

-2 > -5

sağlar).

y+z=0

ise

y=5

olur. Elde edilen değerler:

z=-5, x=-2, y=5

. Sıralama:

-5 < -2 < 5

yani

z < x < y

.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 14Soru →

Sıfırdan farklı $x, y$ ve $z$ gerçel sayıları için aşağıda verilen eşitsizlikler sağlanmaktadır:

\frac{x}{y} < 0

x - y > 0

x < z

y + z < 0

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

y \cdot z > 0

z - x < 0

|y| < |z|

x + y < 0

x^2 > z^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x + y < 0$

Cevap

x + y < 0

ifadesi daima doğrudur.

Verilen öncüllerden

x

ve

z

'nin pozitif,

y

'nin negatif olduğu anlaşılır.

y+z<0

bilgisi, negatif olan

y

'nin mutlak değerce

z

'den (ve dolayısıyla

z

'den küçük olan

x

'ten) daha büyük olduğunu kanıtlar. Bu yüzden

x+y

toplamı kesinlikle negatif olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

x

ve

y

sayılarının işaretlerini belirle.

\frac{x}{y} < 0

olduğu için

x

ve

y

zıt işaretlidir.

x - y > 0

ise

x > y

demektir. Bu durumda pozitif olan büyük sayı

x

, negatif olan küçük sayı

y

'dir (

x > 0, y < 0

).

Zıt işaretli iki sayıdan büyük olanı pozitif olmak zorundadır.

2

z

sayısının işaretini ve

x

ile ilişkisini belirle.

x < z

verilmiştir.

x

pozitif olduğu için,

x

'ten büyük olan

z

sayısı da kesinlikle pozitiftir (

z > x > 0

).

Pozitif bir sayıdan daha büyük olan sayı da pozitiftir.

3

y

ve

z

arasındaki mutlak değer ilişkisini incele.

y + z < 0

verilmiştir.

y

negatif,

z

pozitiftir. Toplamın negatif olması için negatif sayının mutlak değerinin pozitif sayıdan büyük olması gerekir. Yani

|y| > |z|

'dir.

Zıt işaretli sayıların toplamı, mutlak değerce büyük olan sayının işaretini alır.

4

x

ve

y

toplamının işaretini belirle.

Sıralamamız

|y| > |z|

ve

z > x

şeklindedir. Bu durumda

|y| > x

olur.

y

negatif ve

x

pozitif olduğundan, mutlak değerce büyük olanın işareti geçerlidir. Sonuç:

x + y < 0

.

Negatif sayının büyüklüğü (şiddeti), pozitif sayının büyüklüğünden fazlaysa toplam negatif olur.

Anahtar Kavram

Eşitsizliklerde işaret incelemesi ve mutlak değerce büyüklük yorumu.

İpuçları

1

Önce

\frac{x}{y} < 0

ve

x - y > 0

eşitsizliklerini kullanarak

x

ve

y

'nin işaretlerini belirleyin.

2

x

pozitif ve

y

negatiftir.

x < z

olduğuna göre

z

'nin işareti ne olmalıdır? Sonrasında

y+z < 0

ifadesini mutlak değer cinsinden düşünün.

3

y+z < 0

olması, negatif olan

y

'nin mutlak değerinin pozitif olan

z

'den büyük olduğu anlamına gelir (

|y| > z

).

z

de

x

'ten büyüktür. Bu durumda

y

ile

x

'i toplarsanız sonuç ne olur?

Alternatif Yöntem

Sayı vererek deneme yöntemi: Eşitsizlikleri sağlayan örnek sayılar seçilebilir. Örneğin

z=5

olsun.

x < z

olduğundan

x=2

olsun (pozitif olmak zorunda).

x/y < 0

için

y

negatif olmalı.

y+z < 0

olması için

y

'nin -5'ten küçük olması gerekir, örneğin

y=-8

. Bu değerler için şıklar test edilebilir:

x+y = 2 + (-8) = -6 < 0

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 15Soru →

$x, y$ ve $z$ sıfırdan farklı gerçel sayılardır.

x^2 \cdot y < 0

x \cdot y \cdot z > 0

x - z < 0

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

\frac{x+y}{z} < 0

x \cdot z > 0

z < y

x + z > 0

x^2 < y^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{x+y}{z} < 0$

Cevap

İşaret incelemesi sonucunda

x

ve

y

'nin negatif,

z

'nin pozitif olduğu bulunur. Bu durumda iki negatif sayının toplamının pozitif bir sayıya bölümü (

\frac{x+y}{z}

) kesinlikle negatiftir.

Verilen eşitsizliklerden

x

ve

y

'nin negatif,

z

'nin pozitif olduğu tespit edilir. Doğru seçenekteki

\frac{x+y}{z}

ifadesinde, iki negatif sayının toplamı (

x+y

) yine negatif olur. Payda (

z

) ise pozitiftir. Negatif bir sayının pozitif bir sayıya bölümü daima sıfırdan küçüktür.

Adım Adım Çözüm

1

x^2 \cdot y < 0

eşitsizliğini incele.

x^2

her zaman pozitiftir (sıfırdan farklı). Çarpımın negatif olması için

y

negatif (

-

) olmalıdır.

Bir sayının karesi ile çarpımının işaret analizi.

2

x \cdot y \cdot z > 0

eşitsizliğinde

y

'nin işaretini yerine koy.

y

negatiftir. Sonucun pozitif olması için

x \cdot z

çarpımı negatif olmalıdır.

Üçlü çarpımda işaret kuralı:

(-) \cdot (-) = (+)

olması gerekir.

3

x - z < 0

ve

x \cdot z < 0

bilgilerini birleştir.

x \cdot z < 0

olduğu için

x

ve

z

zıt işaretlidir.

x < z

olduğu için negatif olan küçük, pozitif olan büyük olmalıdır. Yani

x

negatif (

-

),

z

pozitif (

+

) olur.

Zıt işaretli iki sayıdan küçük olan negatiftir.

4

Bulunan işaretleri (

x:-, y:-, z:+

) seçeneklerde test et.

\frac{x+y}{z}

ifadesinde pay (

x+y

) iki negatif sayının toplamı olduğundan negatiftir. Payda (

z

) pozitiftir. Negatifin pozitife bölümü negatiftir (

<0

).

Seçeneklerin doğruluk kontrolü.

Anahtar Kavram

İşaret İncelemesi ve Eşitsizlik Özellikleri

İpuçları

1

Önce

x^2 \cdot y < 0

eşitsizliğinden başlayarak

y

'nin işaretini belirleyiniz. Bir sayının karesi (0 hariç) daima pozitiftir.

2

y

'nin işaretini bulduktan sonra,

x \cdot y \cdot z > 0

eşitsizliğini kullanarak

x

ve

z

'nin işaret ilişkisini (aynı mı zıt mı) bulunuz.

3

x

ve

z

zıt işaretli ise ve

x < z

ise, küçük olan negatif, büyük olan pozitif olmak zorundadır. Bulduğunuz işaretleri seçeneklerde yerine koyunuz.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değer içeren eşitsizlik sorularında işaret incelemesi pratiği yapılması önerilir.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: Şartları sağlayan örnek sayılar seçilebilir. Örneğin

y=-1

,

x=-2

(negatif olmalı) ve

z=3

(pozitif olmalı) seçilerek şıklar test edilebilir. Ancak 'daima' sorularında tek bir örnek yanıltıcı olabilir, genel işaret analizi daha güvenilirdir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 16Soru →

$x, y$ ve $z$ sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

x^3 \cdot y^2 < 0

x \cdot z > 0

x + y > 0

y + z < 0

ifadeleri veriliyor.

Buna göre $x, y$ ve $z$ sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

z < x < y

x < z < y

z < y < x

y < x < z

x < y < z

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $z < x < y$

Cevap

Doğru sıralama

z < x < y

şeklindedir.

Verilen eşitsizlikler adım adım incelendiğinde;

x

ve

z

'nin negatif,

y

'nin pozitif olduğu anlaşılır.

x+y > 0

ve

y+z < 0

eşitsizliklerinin birlikte değerlendirilmesi, negatif sayıların mutlak büyüklüklerini karşılaştırmamızı sağlar.

|z| > y > |x|

ilişkisinden dolayı negatif sayılar arasında

z < x

sıralaması oluşur. Pozitif

y

en büyük olduğu için doğru sıralama

z < x < y

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

x

ve

z

sayılarının işaretlerini belirle

x

negatif,

z

negatiftir.

x^3 \cdot y^2 < 0

eşitsizliğinde

y^2

daima pozitiftir, bu yüzden

x^3

(ve dolayısıyla

x

) negatif olmalıdır.

x \cdot z > 0

eşitsizliğinde

x

negatif olduğu için sonucun pozitif olması adına

z

de negatif olmalıdır.

2

y

sayısının işaretini belirle

y

pozitiftir.

x + y > 0

eşitsizliğinde

x

negatiftir. Toplamın pozitif olabilmesi için

y

pozitif olmalı ve mutlak değerce

x

'ten büyük olmalıdır (

y > |x|

).

3

x

ve

z

arasındaki büyüklük ilişkisini kur

z < x

şeklindedir.

y + z < 0

eşitsizliğinde

y

pozitiftir. Toplamın negatif olabilmesi için

z

negatif olmalı ve mutlak değerce

y

'den büyük olmalıdır (

|z| > y

). Önceki adımdan

y > |x|

olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla

|z| > |x|

olur. Her ikisi de negatif olduğundan, mutlak değeri büyük olan daha küçüktür (

z < x

).

4

Tüm sıralamayı birleştir

z < x < y

z

ve

x

negatif olup

z < x

ilişkisi vardır.

y

pozitif olduğu için hepsinden büyüktür.

Anahtar Kavram

Eşitsizliklerde İşaret ve Mutlak Değer Analizi

İpuçları

1

Önce çarpma işlemlerini kullanarak sayıların işaretlerini (+ veya -) belirleyin. Çift kuvvetler (

y^2

) daima pozitiftir.

2

x+y > 0

olması,

y

'nin

x

'in mutlak değerinden büyük olduğunu gösterir (

y > |x|

).

3

y+z < 0

ifadesini kullanarak

z

'nin mutlak değerinin

y

'den büyük olduğunu fark edin (

|z| > y

). Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan daha küçüktür.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde deneme yöntemi:

x=-2

vererek koşulları sağlayan

y

ve

z

değerlerini bulmaya çalışın. Örneğin

x=-2

ise

y>2

olmalı (ör:

y=3

).

y=3

ise

z<-3

olmalı (ör:

z=-4

). Sıralama:

-4 < -2 < 3

.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 17Soru →

$x, y$ ve $z$ sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

x^3 \cdot y^2 < 0

x \cdot z > 0

x + y = 0

|x| < |z|

eşitsizlikleri ve eşitliği veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

y + z > 0

x^2 > z^2

x \cdot y < y \cdot z

y^2 < z^2

z - x > 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: y^2 < z^2

Cevap

y² < z² ifadesi daima doğrudur.

Verilenlerden

x

ve

z

'nin negatif,

y

'nin pozitif olduğu; ayrıca

z

'nin

x

'ten daha küçük (daha solda) olduğu anlaşılır.

y = |x|

eşitliği ve

|x| < |z|

eşitsizliği birleştirildiğinde

y < |z|

bulunur. Pozitif büyüklüklerin karesi sıralamayı koruduğu için

y^2 < z^2

ifadesi kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen ilk eşitsizlikten işaretleri belirle.

y^2

daima pozitiftir.

x^3 \cdot y^2 < 0

olması için

x^3

negatif olmalıdır, yani x < 0.

Bir sayının karesi (sıfır hariç) pozitiftir; çarpımın negatif olması için diğer çarpan negatif olmalıdır.

2

İkinci ve üçüncü ifadeleri kullanarak diğer değişkenlerin işaretlerini bul.

x \cdot z > 0

ve

x

negatif ise z < 0 olmalıdır.

x + y = 0

ise

y = -x

olur;

x

negatif olduğu için y > 0'dır.

Aynı işaretli sayıların çarpımı pozitiftir; toplamları sıfır olan zıt işaretli sayılardan biri negatifse diğeri pozitiftir.

3

Son eşitsizliği kullanarak büyüklük sıralamasını yap.

|x| < |z|

ve her ikisi de negatif (

z, x < 0

) olduğundan,

z

sayısı

x

'ten daha küçüktür (

z < x

).

y = |x|

olduğu için

|y| < |z|

bağıntısı da geçerlidir.

Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan sayı daha küçüktür.

4

Doğru seçeneği test et.

y = |x|

ve

|x| < |z|

olduğundan

y < |z|

bulunur. Her iki tarafın karesi alınırsa y² < z² elde edilir.

Pozitif büyüklüklerin karesi alındığında eşitsizlik yön değiştirmez.

Anahtar Kavram

Negatif sayılarda sıralama ve mutlak değer ilişkisi

İpuçları

1

Önce verilen çarpım ve toplamları kullanarak her bir değişkenin (

x, y, z

) işaretini belirleyin.

2

x

ve

z

negatif,

y

pozitiftir.

x+y=0

olduğu için

y

,

x

'in mutlak değerine eşittir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 18Soru →

a, b

ve

c

sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

a^3 \cdot b^2 < 0

a \cdot b > 0

a + c = 0

eşitsizlikleri ve eşitliği veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

\frac{a - c}{b} > 0

a \cdot c > 0

b + c < 0

a > b

c < 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{a - c}{b} > 0$

Cevap

\frac{a - c}{b} > 0

ifadesi kesinlikle doğrudur.

Verilen koşullardan

a

'nın negatif,

b

'nin negatif ve

c

'nin pozitif olduğu tespit edilir. Doğru seçenekteki

\frac{a-c}{b}

ifadesinde; pay kısmı

(a-c)

iki negatif terimin toplamı gibi davranarak negatif olur. Payda (

b

) zaten negatiftir. İki negatif sayının bölümü daima pozitiftir (

>0

). Bu nedenle bu seçenek kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci eşitsizliği analiz et:

a^3 \cdot b^2 < 0

.

Bir gerçel sayının karesi (

b^2

) daima pozitiftir. Çarpımın negatif olması için

a^3 < 0

olmalıdır, bu da

a < 0

(negatif) demektir.

İşaret çarpımı kuralı.

2

İkinci eşitsizliği analiz et:

a \cdot b > 0

.

a

negatiftir. Sonucun pozitif olması için

b

de negatif (

b < 0

) olmalıdır.

Negatif ile negatifin çarpımı pozitiftir.

3

Üçüncü eşitliği analiz et:

a + c = 0

.

c = -a

olur.

a

negatif bir sayı olduğuna göre, önündeki eksi ile birlikte

c

pozitif (

c > 0

) olur.

Eşitlikten işaret tespiti.

4

Bulunan işaretleri seçeneklerdeki ifadede yerine koy.

İstenen seçenek:

\frac{a - c}{b}

. Pay:

a

(negatif) -

c

(pozitif) = Negatif. Payda:

b

(negatif). Sonuç: Negatif / Negatif = Pozitif.

Kesinlik analizi.

Anahtar Kavram

İşaret İncelemesi ve Eşitsizlik Özellikleri

İpuçları

1

Önce

a^3 \cdot b^2 < 0

eşitsizliğinden başlayın.

b^2

ifadesinin işareti daima nedir?

2

b^2

pozitif olduğuna göre

a^3

negatif olmalıdır, bu da

a

'nın işaretini verir. Ardından

a \cdot b > 0

eşitsizliğini kullanarak

b

'yi bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla

x^2 \cdot y > 0

ve

y - z < 0

gibi koşulların verildiği soruları çözün.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde tahmini değerler vererek (örneğin

a=-2

) diğer değişkenlerin alabileceği değerleri (

c=2

gibi) test edebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 19Soru →

Sıfırdan farklı $x, y$ ve $z$ gerçel sayıları için aşağıda verilen eşitsizlikler sağlanmaktadır:

x^3 \cdot y^2 < 0

x \cdot z > 0

\frac{x - y}{z} < 0

\frac{y}{z} < 1

Buna göre $x, y$ ve $z$ sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

z < y < x

y < z < x

x < y < z

y < x < z

z < x < y

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $z < y < x$

Cevap

z < y < x

sıralaması doğrudur.

Verilen eşitsizlikler adım adım çözüldüğünde:

x^3 \cdot y^2 < 0

ifadesinden

x

'in negatif olduğu;

x \cdot z > 0

ifadesinden

z

'nin de negatif olduğu bulunur.

\frac{x - y}{z} < 0

ifadesinde

z

negatif olduğundan pay pozitif olmalı, yani

x > y

olmalıdır. Son olarak

\frac{y}{z} < 1

ifadesinde

z

ile çarpma yapıldığında eşitsizlik yön değiştirir ve

y > z

elde edilir. Tüm bu bilgiler birleştirildiğinde doğru sıralama

z < y < x

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

x^3 \cdot y^2 < 0

eşitsizliğini incele.

y \neq 0

olduğu için

y^2 > 0

dır. Çarpımın negatif olması için

x^3 < 0

olmalıdır, bu da

x < 0

demektir.

Çift kuvvetler daima pozitiftir, tek kuvvetler tabanın işaretini korur.

2

x \cdot z > 0

eşitsizliğinde

x

'in işaretini yerine koy.

x

negatif olduğu için, çarpımın pozitif olması

z

'nin de negatif olmasını gerektirir. Yani

z < 0

.

Aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitiftir.

3

\frac{x - y}{z} < 0

eşitsizliğini çöz.

Payda (

z

) negatiftir. Bölümün negatif olması için payın (

x - y

) pozitif olması gerekir.

x - y > 0 \Rightarrow x > y

.

Bölme işleminde sonucun negatif olması için pay ve payda zıt işaretli olmalıdır.

4

\frac{y}{z} < 1

eşitsizliğini çöz.

Eşitsizliğin her iki tarafını

z

(negatif sayı) ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir:

y > z

.

Eşitsizliklerde negatif bir sayıyla çarpma veya bölme yapıldığında eşitsizlik yön değiştirir.

5

Bulunan sonuçları birleştirerek sıralamayı yaz.

x > y

ve

y > z

olduğuna göre, sıralama

z < y < x

şeklindedir. (Hepsi negatiftir).

Bulunan iki eşitsizlik birleştirilerek tam sıralama elde edilir.

Anahtar Kavram

Negatif sayılarla eşitsizlik işlemleri ve işaret incelemesi

İpuçları

1

Bir sayının karesi (

y^2

) daima pozitiftir, bu bilgiyi

x^3 \cdot y^2 < 0

ifadesinde

x

'in işaretini bulmak için kullanın.

2

z

'nin negatif olduğunu bulduktan sonra, eşitsizliklerde payda veya çarpan olarak

z

kullanırken eşitsizlik yönüne dikkat edin.

3

\frac{y}{z} < 1

eşitsizliğinde her iki tarafı

z

(negatif sayı) ile çarparsanız

y > z

elde edersiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 20Soru →

$a, b$ ve $c$ sıfırdan farklı gerçel sayılardır.

a^2 \cdot b < 0

b \cdot c > 0

a + c = 0

Verilen bilgilere göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

a \cdot b > 0

b + c > 0

a + b > 0

a - c > 0

\frac{a}{c} > 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a - c > 0$

Cevap

a - c > 0

ifadesi kesinlikle doğrudur.

Verilen eşitsizliklerden

b

ve

c

'nin negatif,

a

'nın ise pozitif olduğu tespit edilir (

a = -c

ilişkisiyle).

a - c

işlemi, pozitif bir sayıdan negatif bir sayının çıkarılmasıdır (

a - (-k) = a + k

). İki pozitif büyüklüğün toplamı her zaman sıfırdan büyük olacağından, bu seçenek kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

a^2 \cdot b < 0

eşitsizliğini inceleyin.

a \neq 0

olduğu için

a^2

daima pozitiftir. Çarpımın negatif olması için

b

negatif (

b < 0

) olmalıdır.

Çift kuvvetler daima pozitif sonuç verir (0 hariç).

2

b \cdot c > 0

eşitsizliğini inceleyin.

b

sayısının negatif olduğunu bulmuştuk. Çarpımın pozitif olması için

c

de negatif (

c < 0

) olmalıdır.

Aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitiftir.

3

a + c = 0

eşitliğini kullanarak

a

'nın işaretini belirleyin.

a = -c

dir.

c

negatif bir sayı olduğu için (örneğin -3), önüne eksi alınca

a

pozitif olur (

a > 0

).

Negatif bir sayının negatifi pozitiftir.

4

Bulunan işaretlere göre seçenekleri değerlendirin:

a(+), b(-), c(-)

.

a - c

ifadesinde, pozitif bir sayıdan negatif bir sayı çıkarılmaktadır:

(+) - (-) = (+) + (+) > 0

. Sonuç kesinlikle pozitiftir.

İşaret incelemesi sonucu kesin yargıya varılır.

Anahtar Kavram

İşaret İncelemesi ve Eşitsizlik Özellikleri

Pozitif ve Negatif Sayılar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem